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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 54

Encontre uma equação da curva que satisfaz as condições dadas.

Em cada ponto ( x ,   y ) da curva, a inclinação é x + 1 2 ; a curva passa pelo ponto ( - 2 ,   8 ) .

Passo 1

Bom galera, esse problema é muito mais fácil do que parece, vamos começar integrando a função de inclinação, pois a gente sabe que a inclinação é dada pela derivada, logo, nossa função original é a primitiva dela:

f ' x = d y d x = x + 1 2

Se intergrarmos a função, teremos:

f ( x ) = ∫ x + 1 2   d x = ∫ x 2 + 2 x + 1   d x

= x 3 3 + x 2 + x + C

Passo 2

Beleza, agora vamos usar o problema de valor inical, para isso vamos pegar aquele ponto que o problema deu:

- 2 ,   8 →   f - 2 = 8

Aplicamos na função integrada:

f - 2 = 8 = ( - 2 ) 3 3 + ( - 2 ) 2 + ( - 2 ) + C

→ 8 = - 8 3 + 4 - 2 + C

→ C = 8 + 2 - 4 + 8 3 = 26 3

Passo 3

Por fim, a gente põe o valor de C que encontramos na função integrada que achamos no passo 1:

f ( x ) = x 3 3 + x 2 + x + 2 6 3

Resposta

f ( x ) = x 3 3 + x 2 + x + 2 6 3

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Em cada parte, confirme que a fórmula está correta e enuncie uma fórmula de integração correspondente.(b) d d x x e x = x + 1 e x
Em cada parte, confirme que a fórmula está correta por diferenciação.(b) ∫ d x 1 - x 2 3 2 = x 1 - x 2 + C
Em cada parte, confirme que a fórmula está correta por diferenciação.(b) ∫ xs e nxd x = s e nx - x cos ⁡ x + C
Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em (a). ∫ x 3
Use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, confirme que o resultado é equivalente ao que foi obtido em (a). ∫ ln ⁡