Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.3 - Ex. 5
Encontre uma equação para a família de retas tangentes ao círculo com centro na origem e raio 3.
Passo 1
Primeiro, vamos ver qual a equação desse círculo aí.
A equação geral de um círculo é:
Onde é a coordenada do centro do círculo e é o raio. No caso, temos o centro na origem, logo e com raio , logo . Assim, nossa equação será:
Passo 2
Como queremos uma família de retas, será algo do tipo:
Além disso, queremos que ela seja tangente ao círculo, logo ela tem um ponto com comum com o círculo. Vamos achar esse ponto:
Podemos substituir da reta na equação do cículo:
Abrindo esse produto notável do tipo :
Vamos colocar em evidência e arrumar a equação:
Opa, temos uma equação do segundo grau para resolver!! Vamos usar Bháskara:
Fazendo as contas:
Bom, as raízes dessa equação são os pontos onde a reta toca o círculo, como ela deve ser tangente ao círculo, deve tocar em apenas um ponto, certo? Logo, para que haja apenas uma raiz dessa equação, o delta da fórmula de Bháskara deve ser :
Dá para cortar :
Agora, vamos achar uma relação entre e :
E substituir isso na equação da reta que temos:
Logo, essa é a família de retas tangentes ao círculo