Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 38
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada.
Passo 1
Fala, amigos! De boa??
Vamos começar relembrando nossa série de Maclaurin, que é um caso especial da série de Taylor, onde . Na série de Maclaurin, uma função é representada como uma soma infinita de termos (que já sabemos que nada mais é que uma série) calculados a partir de suas derivadas em zero. O termo geral da série e seus termos, tem a forma de:
A tabela 1 do nosso livro traz algumas séries de Maclaurin importantes e que são comuns, então o autor compilou e deixou separado pra gente. Nessa tabela temos a função e sua série de Maclaurin correspondente e também já traz o valor do Raio de convergência.
Nesse caso a questão pede para obtermos essa série da função:
Na tabela já está pronta a série de Maclaurin para, então vamos partir dela para achar a de .
Bora pra nossa resolução!
Passo 2
Olhando a tabela 1, já temos prontinha a forma de Maclaurin para :
Então podemos substituir por no argumento e substituir o cosseno na função do enunciado por uma série
Multiplicando os expoentes, e jogando o denominador da fração com o denominador da série:
Observe que conseguimos adaptar para , mas estamos procurando a série para , então vamos multiplicar por nossa série:
Fazendo a soma de expoentes: , teremos finalmente nossa série de Maclaurin para :