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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 43

Mostre que a função é diferenciável achando valores ε 1 e ε 2 que satisfaçam à Definição 7.

f x , y = x 2 + y 2

Passo 1

Pela definição 7 se z = f ( x , y ) , então f é diferenciável em ( a , b ) se podemos expressar Δ z como

Δ z = f x a , b Δ x + f y a , b Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

E ε 1 , ε 2 → 0 , quando Δ x , Δ y → 0

Para encontrar ε 1 e ε 2 , vamos substituir Δ z e as derivadas parciais, como queremos provar a diferenciabilidade em todo o domínio, vamos usar o ponto genérico a , b = ( x , y )

Primeiramente vamos calcular as derivadas

f x = 2 x

f y = 2 y

Substituindo

Δ z = 2 x Δ x + 2 y Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

Passo 2

Para achar Δ z vamos assumir que estamos analizando um ponto x + Δ x , onde x é a coordenada do ponto onde está o plano tangente, o mesmo vale para y , então podemos dizer que

Δ z = f x + Δ x ,   y + Δ y - f ( x , y )

Δ z = x + Δ x 2 + y + Δ y 2 - x 2 - y 2

Δ z = x 2 + 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 + y 2 + 2 y Δ y + Δ y 2 - x 2 - y 2

Δ z = 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 + 2 y Δ y + Δ y 2

Substituindo na equação

2 x Δ x + ( Δ x ) 2 + 2 y Δ y + Δ y 2 = 2 x Δ x + 2 y Δ y + ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

( Δ x ) 2 + Δ y 2 = ε 1 Δ x + ε 1 Δ y

Por igualdade de variáveis

ε 1 = Δ x

ε 2 = Δ y

Logo ε 1 , ε 2 → 0 .

Resposta

ε 1 = Δ x

ε 2 = Δ y

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Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :b) f x , y = 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:h) f x , y = arctan ⁡ 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:e) z = s e n 2 x y x 2 + y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:f) f x , y = e x 2 - y 2
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:e) f x , y = 1 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )