Mostre que a função é diferenciável achando valores e que satisfaçam à Definição 7.
Passo 1
Pela definição 7 se , então é diferenciável em se podemos expressar como
E , quando
Para encontrar e , vamos substituir e as derivadas parciais, como queremos provar a diferenciabilidade em todo o domínio, vamos usar o ponto genérico
Primeiramente vamos calcular as derivadas
Substituindo
Passo 2
Para achar vamos assumir que estamos analizando um ponto , onde é a coordenada do ponto onde está o plano tangente, o mesmo vale para , então podemos dizer que
Substituindo na equação
Por igualdade de variáveis
Logo .
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R^2 :b) f(x, y) = 2xy
Identifique a região de R^2 onde as funções dadas são diferenciáveis:h) f(x, y) = arctan(2xy)
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:e) z = s e n 2 x y x 2 + y 2
Identifique a região de R^2 onde as funções dadas são diferenciáveis:f) f(x, y) = e^(x^2 - y^2)
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:e) f x , y = 1 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )