Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 60
Encontre uma equação do plano que passa pelo ponto e corta o menor volume no primeiro octante.
Passo 1
Oie, vem resolver comigo essa atividade hoje.
Aqui a gente quer encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto:
E que e que corte o menor volume limitado ao primeir octante
Bom galera, vamos usar a equação do plano:
Em que:
São os pontos que nossa equação da reta passa.
A questão está essencialmente nos pedindo para otimizar e a fim de minimizar o volume como uma função de e . É importante estar ciente de que tanto quanto devem ser negativos, pois gostaríamos que o vetor normal apontasse na direção negativa de e na direção negativa de para que o plano delimitasse um tetraedro com área finita no primeiro octante. Isso só acontecerá se se tornar menor à medida que nos movemos em direção às direções positivas de e .
Passo 2
A gente já tem que:
Bom, vamos encontrar o volume , pra isso vamos calcular os ponto de interceção entres os pontos intercepta os eixos coordenados.
Para | :
Para | :
E para | :
O volume é:
Com os valores que descobrimos, teremos então:
Passo 3
Agora a gente deriva parcialmente em relação a e :
A gente precisa aplicar aqui a regra do quociente para derivar corretamente:
Em relação a a gente tem:
E para :
Para encontrar os pontos críticos precisamos zerar e :
Veja que não podemos zerar pois isso nos daria um volume nulo, o que não queremos aqui. Então nos sobra:
E resolvendo encontramos:
Passo 4
Por fim, a gente só coloca e naquela equação do plano:
Simplificando a gente pode escrever assim: