Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 4

4 . Em um laboratório foram obtidas, experimentalmente, as seguintes medidas

t 1 = 0   ,   v 1 = 2

t 2 = 1   ,   v 2 = 8

t 3 = 2   ,   v 3 = 11

Determine os coeficientes a e b da função v t = a t + b   de modo a minimizar a soma dos erros quadráticos, isto é

e 1 2 + e 2 2 + e 3 2

Onde e i = v t i - v i

Passo 1

Esse enunciado é complicadinho, mas basicamente temos que achar o mínimo de

f =   e 1 2 + e 2 2 + e 3 2

Dessa forma basta derivarmos

f ' = 2 e 1 ⋅ e ' 1 + 2 e 2 ⋅ e ' 2 + 2 e 3 ⋅ e ' 3

Onde

e i = v t i - v i

Passo 2

Vamos substituir esses valores agora

f ' = 2 e 1 ⋅ e ' 1 + 2 e 2 ⋅ e ' 2 + 2 e 3 ⋅ e ' 3

f ' = 2 v t 1 - v 1 ⋅ v t 1 - v 1 ' + 2 v t 2 - v 2 ⋅ v t 2 - v 2 ' + 2 v t 3 - v 3 ⋅ v t 3 - v 3 '

Lembrando que

v t = a t + b

Com isso nossa derivada fica

f ' = 2 a ⋅ 0 + b - 2 ⋅ a + 2 a ⋅ 1 + b - 8 ⋅ a + 2 a ⋅ 2 + b - 11 ⋅ a

Podemos ajeitar um pouco essa função

f ' = 2 a   b - 2 + a + b - 8 + 2 a + b - 11

f ' = 2 a   3 b + 3 a - 21

Passo 3

Agora como todo exercício de otimização pede da gente, temos que igualar essa derivada a zero

f ' = 0

2 a   3 b + 3 a - 21 = 0

Com isso

a = 0

Ou

3 b + 3 a - 21 = 0

a + b = 21 3

a + b = 7  

Passo 4

Vamos usar um truque para linearizar pontos. Vamos pegar x f i n a l - x i n i c i a l e y f i n a l   - y i n i c i a l   e fazer

∆ y ∆ x

Com isso podemos descobrir o coeficiente angular dessa reta

a =   ∆ y ∆ x = 11 - 2 2 - 0

a = 9 2

Show!!! Conseguimos a , agora vamos usar aquela relação no passo 3 e descobrir b

a + b = 7  

9 2 + b = 7  

b = 5 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

a = 9 2

b = 5 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x + 2 y + 3 z = 6.
Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio r .
Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1000c m 3 que tenha a área de sua superfície mínima.
Suponha que um cientista tenha razões para acreditar que duas quantidades x e y estejam relacionadas linearmente, ou seja, y = m x + b , pelo menos aproximadamente, para algum valor de m e de b . O ci
Determine uma equação do plano que passa pelo ponto 1 ,2 ,3 e que corta o menor volume do primeiro octante.