Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições:

f(x, y, z) = z

x^2 + y^2 = z^2

x + y + z = 24

Passo 1

Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x , y , z = z

Queremos determinar os valores extremos dessa função que está sujeita às seguintes restrições:

x 2 + y 2 = z 2

x + y + z = 24

Para ficar melhor de explicar, vamos “transformar” essas equações em funções para ficar melhor de entender e calcular (só passamos todo mundo para um lado da igualdade):

g x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

h x , y , z = x + y + z - 24

Para determinar esses valores extremos, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y , z sujeitos às restrições g x , y , z = k e h x , y , z = c (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 e ∇ h ≠ 0 sobre as superfícies g x , y , z = k e h x , y , z = c , respectivamente), então:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z + μ ⋅ ∇ h x , y , z

Esses λ e μ são os nossos multiplicadores de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ), depois os de g (ou seja, ∇ g ) e, por fim, os de h (ou seja, ∇ h ).

Em seguida, iremos calcular o valor de λ e μ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando nas nossas restrições g e h encontraremos os valores que desejamos!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y , z = z

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando com relação a x , obtemos:

f x = ∂ ∂ x   z ∴

f x = 0

Derivando em relação a y de forma análoga:

f y = ∂ ∂ y   z ∴

f y = 0

E, para z :

f z = ∂ ∂ z   z ∴

f z = 1

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = 0,0 , 1

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

Derivando com relação a x , aplicando a Regra da Potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x 2 + y 2 - z 2 ∴

g x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x 2 + y 2 - z 2 ∴

g y = 2 y

E, para z :

g z = ∂ ∂ z   x 2 + y 2 - z 2 ∴

g z = - 2 z

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 2 x ,   2 y ,   - 2 z

Passo 4

Agora vamos para a função h :

h x , y , z = x + y + z - 24

Derivando com relação a x , aplicando a Regra da Potência, obtemos:

h x = ∂ ∂ x   x + y + z - 24 ∴

h x = 1

Derivando em relação a y de forma análoga:

h y = ∂ ∂ y   x + y + z - 24 ∴

h y = 1

E, para z :

h z = ∂ ∂ z   x + y + z - 24 ∴

h z = 1

Assim, nosso gradiente é:

∇ h = 1,1 , 1

Passo 5

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z + μ ⋅ ∇ h x , y , z

0,0 , 1 = λ ⋅ 2 x ,   2 y ,   - 2 z + μ ⋅ 1,1 , 1

Daí, vamos tirar que:

0 = λ ⋅ 2 x + μ 0 = λ ⋅ 2 y + μ 1 = λ ⋅ - 2 z + μ

Lembrando que nossas restrições são:

x 2 + y 2 = z 2

x + y + z = 24

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 6

Bom... da primeira equação do sistema, temos:

0 = λ ⋅ 2 x + μ ∴

μ = - 2 λ x

E da segunda equação do sistema:

0 = λ ⋅ 2 y + μ ∴

μ = - 2 λ y

Assim, concluímos que:

- 2 λ x = - 2 λ y ∴

x = y

Passo 7

Aplicando a mesma conclusão do passo anterior na nossa primeira restrição, temos:

x 2 + y 2 = z 2 ∴

x 2 + x 2 = z 2 ∴

2 x 2 = z 2

Aplicando a conclusão do passo anterior na nossa segunda restrição, obtemos:

x + y + z = 24 ∴

x + x + z = 24 ∴

z = 24 - 2 x

Assim, substituindo o valor de z , obtemos:

2 x 2 = 24 - 2 x 2 ∴

2 x 2 - 96 x + 576 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, obteremos os seguintes resultados:

x = 24 ± 12 2

Como sabemos que x = y , então podemos inferir que:

y = 24 ± 12 2

E também, substituindo o valor que encontramos de x em z = 24 - 2 x , temos:

z = 24 - 2 24 ± 12 2 ∴

z = - 24 ∓ 24 2

Pronto!! Encontramos os valores de x , y e z que são os nossos extremos!!!

Agora vamos aplicar em f !!

Passo 8

Da nossa função f , temos:

f x , y , z = z

Assim, vamos primeiro aplicar o primeiro ponto:

f 24 + 12 2 , 24 + 12 2 , - 24 - 24 2 = - 24 - 24 2

E, aplicando o segundo ponto, temos:

f 24 - 12 2 , 24 - 12 2 , - 24 + 24 2 = - 24 + 24 2

Assim, comparando os dois valores, podemos inferir que o nosso mínimo é:

f 24 + 12 2 , 24 + 12 2 , - 24 - 24 2 = - 24 - 24 2

E o nosso máximo é:

f 24 - 12 2 , 24 - 12 2 , - 24 + 24 2 = - 24 + 24 2

😉

Resposta

Mínimo é:

f 24 + 12 2 , 24 + 12 2 , - 24 - 24 2 = - 24 - 24 2

E o máximo é:

f 24 - 12 2 , 24 - 12 2 , - 24 + 24 2 = - 24 + 24 2

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