Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 18
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições:
Passo 1
Falaee, tudo tranquilinho?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos determinar os valores extremos dessa função que está sujeita às seguintes restrições:
Para ficar melhor de explicar, vamos “transformar” essas equações em funções para ficar melhor de entender e calcular (só passamos todo mundo para um lado da igualdade):
Para determinar esses valores extremos, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!
Mas que método é esse???
Então... para determinar os valores máximo e mínimo de sujeitos às restrições e (supondo que esses valores extremos existam e que e sobre as superfícies e , respectivamente), então:
Esses e são os nossos multiplicadores de Lagrange!!!
Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de (ou seja, ), depois os de (ou seja, ) e, por fim, os de (ou seja, ).
Em seguida, iremos calcular o valor de e utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando nas nossas restrições e encontraremos os valores que desejamos!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!
Primeiro vamos para a função :
Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!
Derivando com relação a , obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 3
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 4
Agora vamos para a função :
Derivando com relação a , aplicando a Regra da Potência, obtemos:
Derivando em relação a de forma análoga:
E, para :
Assim, nosso gradiente é:
Passo 5
Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.
Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:
Daí, vamos tirar que:
Lembrando que nossas restrições são:
Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉
Passo 6
Bom... da primeira equação do sistema, temos:
E da segunda equação do sistema:
Assim, concluímos que:
Passo 7
Aplicando a mesma conclusão do passo anterior na nossa primeira restrição, temos:
Aplicando a conclusão do passo anterior na nossa segunda restrição, obtemos:
Assim, substituindo o valor de , obtemos:
Resolvendo essa equação do segundo grau, obteremos os seguintes resultados:
Como sabemos que , então podemos inferir que:
E também, substituindo o valor que encontramos de em , temos:
Pronto!! Encontramos os valores de , e que são os nossos extremos!!!
Agora vamos aplicar em !!
Passo 8
Da nossa função , temos:
Assim, vamos primeiro aplicar o primeiro ponto:
E, aplicando o segundo ponto, temos:
Assim, comparando os dois valores, podemos inferir que o nosso mínimo é:
E o nosso máximo é:
😉
Resposta
Mínimo é:
E o máximo é: