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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 6

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = x 3 - 3 x + 1 ,         ( 2,3 )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão!

O enunciado nos dá:

y = x 3 - 3 x + 1

E pede pra a gente achar a equação da reta tangente de y no ponto ( 2,3 ) . Como podemos fazer isso?!

Sabemos que f ' a é a inclinação da reta tangente quando x = a , também chamada de m . Temos que:

m = f ' a =   lim h →   0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

E esse é o primeiro passo para encontrarmos a reta tangente. Após encontrarmos f ' ( a ) , vamos utilizar da fórmula:

y - y 1 = m x - x 1

Que é de fato a fórmula para a reta tangente no ponto genérico ( x 1 , y 1 ) . No nosso caso o ponto é o:

( 2,3 )

Dito isso, vamos aos cálculos.

Passo 2

Substituindo a equação acima, temos:

f x = y = x 3 - 3 x + 1

f 2 = 2 3 - 6 + 1

Encontrando f ' ( 2 ) , que é nosso coeficiente angular m :

f ' 2 =   lim x →   2 ⁡ f a + h - f 2 h

Substituindo:

f ' 2 =   l i m x →   2 2 + h 3 - 3 2 + h + 1 - ( 2 3 - 3 2 + 1 ) h

Realizando o produto notável:

f ' 2 = l i m h → 0 2 3 + 3 h 2 2 + 3 h 2 2 + h 3 - 3 2 - 3 h - 2 3 + 3 2 - 1 h

Simplificando os termos semelhantes:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 3 h 4 + 3 h 2 2 + h 3 - 3 h h

Simplificando o h :

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 3 4 + 3 h 2 + h 2 - 3

Agora podemos calcular:

f ' 2 = 12 + 0 + 0 - 3 = 9

  Achamos a inclinação da reta, agora é só substituir na relação da reta.

Passo 3

A equação de uma reta qualquer pode ser dada por:

y - y 1 = f ' ( a ) ( x - a )

Levando pro nosso caso, temos o ponto ( 2,3 ) , então:

y - 3 = 9 ( x - 2 )

y = 9 x - 18 + 3

y = 9 x - 15

Prontinho!

Resposta

y = 9 x - 15

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