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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 5

Nos exercícios de 1 a 6, ache a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto ( x 1 , y 1 ) . Faça uma tabela de valores de x, y e m no intervalo fechado [ a , b ] e inclua na tabela os pontos onde o gráfico tem uma tangente horizontal. Faça um esboço do gráfico e mostre um segmento da reta tangente em cada ponto colocado no gráfico.

5)   y = x 3 + 1 ; a , b = [ - 2,2 ]

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = x 3 + 1 , temos:

f x 1 + ∆ x = x 1 + ∆ x 3 + 1 e

f x 1 = x 1 3 + 1

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ = x 1 + ∆ x 3 + 1     - x 1 3 + 1 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável teremos:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 3 x 1 2 ∆ x + 3 x 1 ∆ x 2 + ∆ x 3 ∆ x

Simplificando:

m x 1 = 3 x 1 2

Passo 2

Agora apresentaremos uma tabela com alguns valores de x, y e m no intervalo [ - 2,2 ]

Passo 3

Agora faremos o esboço do gráfico, destacando retas tangentes nos pontos escolhidos.

Resposta

Inclinação da reta tangente: m x 1 = 3 x 1 2

Tabela de valores de x, y e m:

Gráfico:

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39. Ache uma equação da reta normal à curva y = 10 14 - x 2 no ponto (4,-5).
38. Ache uma equação da reta nomral à curva y = 4 x 2 - 8 x no ponto (1,-4).
Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2 y + x = 3 e tangente ao gráfico de f x = x 2 - 3 x .
Determine todos os pontos a , b sobre a curva y = x 4 + 2 x 3 - 2 x 2 + 8 x + 12 tais que a reta tangente em a , b seja paralela à reta 8 x - y + π = 0 .
Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada, no ponto dado. f x = x 2 - 3 x , no ponto de abscissa 0