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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 33

Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

y = ln ⁡ x 2 - 3 x + 1 ,     ( 3,0 )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a equação da reta tangente à curva y = ln ⁡ x 2 - 3 x + 1 no ponto ( 3 ,   0 ) .

Pra isso, a gente precisa lembrar que o coeficiente angular da reta tangente é a derivada dessa função no ponto dado, ou seja, m = y ' ( 3 ) . Além disso, a equação geral dessa reta é dada por:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde x 0 ,   y 0 = ( 3 ,   0 ) , nesse caso.

Então, vamos derivar a nossa função e substituir os dados do enunciado para encontrar a nossa reta tangente.

Vamos lá!

Passo 2

Como a função y = ln ⁡ x 2 - 3 x + 1 é composta, precisamos usar a regra da cadeia na hora de derivar. Assim, vamos ter:

y ' = 1 x 2 - 3 x + 1 ⋅ x 2 - 3 x + 1 '

E derivando a função de dentro:

y ' = 1 x 2 - 3 x + 1 ⋅ ( 2 x - 3 )

y ' = 2 x - 3 x 2 - 3 x + 1

No ponto x 0 = 3 , vamos ter o coeficiente angular da nossa reta:

y ' 3 = 2 ⋅ 3 - 3 3 2 - 3 ⋅ 3 + 1

y ' 3 = 3 9 - 9 + 1

y ' 3 = 3

Passo 3

Agora substituindo m = 3 junto com o ponto x 0 ,   y 0 = ( 3 ,   0 ) na equação da reta tangente, temos:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 0 = 3 ∙ x - 3

E isolando y :

y = 3 x - 9

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 3 x - 9

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