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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 46

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado.

y = x - 1 x 3 ,   x = 2

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra fazer a equação da reta tangente a gente vai precisar da derivada dessa função, certo?

Então é por aí que a gente vai começar...

A gente tem uma função composta, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Beleza?

Passo 2

Vamos derivar então por essa regrinha, sendo que aqui f = x 3     e     g = x - 1 x :

y ' = 3 x - 1 x 2 x - 1 x '

Agora a gente deriva g :

y ' = 3 x - 1 x 2 1 + 1 x 2

Prontinho! Derivada encontrada!

Vamos continuar...

Passo 3

Agora vamos relembrar como é a equação da nossa reta tangente? É assim ó:

y - f a = f ' a ( x - a )

Onde a é o ponto pedido, no nosso caso a = 2 .

Vamos aplicar isso ali na fórmula então!

y - 2 - 1 2 3 = 3 2 - 1 2 2 1 + 1 2 2 ( x - 2 )  

Agora vamos desenvolver isso...

y - 3 2 3 = 3 3 2 2 5 4 ( x - 2 )

y - 27 8 = 3 9 4 5 4 x - 2

y = 135 16 x - 2 + 27 8

y = 135 16 x - 135 8 + 27 8

y = 135 16 x - 108 8

y = 135 16 x - 27 2

Prontinho! Essa é a equação da reta tangente ao gráfico em x = 2 😉

Resposta

y = 135 16 x - 27 2

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Ache a derivada da função dada. g x = 4 x 2 - 1 3
Ache a derivada da função dada. f x = 4 sec ⁡ x
Ache a derivada da função dada. g x = 3 x 2 + 5 x - 1 2 3
Ache a derivada da função dada. f y = 1 + c o s s e c 2 y
Calcule a derivada indicada. d d x x 2 - 5 ⋅ x 2 + 3 3