Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 41
Use a derivação logarítmica para achar a derivada de função.
Passo 1
Fala galera, nessa questão temos a seguinte função
E para resolve-la vamos usar a derivada logarítmica.
Mas como faz isso?Basicamente, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados da equação.
E depois vamos derivar implicitamente para encontrar o valor de .(Aí não pode esquecer, quando deriva implicitamente sempre que derivar em tem que multiplicar por .)
Outra ideia que vai ajudar a gente aqui é saber as propriedades de logaritmos. Aqui vamos usar a propriedade do “peteleco”:
E a propriedade da divisão:
Passo 2
Nossa expressão é:
Uma raíz é a mesma coisa que elevar por meio:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados, temos:
Agora, podemos dar uma manipulada no termo da direita usando algumas propriedades de logaritmo.
Usando a propriedade do “peteleco”, temos:
E agora usando a propriedade da divisão, temos:
Passo 3
Agora a gente vai derivar implicitamente:
(Lembrando que quando derivar em tem que multiplicar por . E que temos algumas regras da cadeia rolando ali, no e no .)
Isso nos dá que:
E, por fim, substituímos a expressão dada para , para obtermos apenas em função de .
Assim: