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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 48

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado.

y = 3   c o t g 4 x ,     x = π 4

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra fazer a equação da reta tangente a gente vai precisar da derivada dessa função, certo?

Então é por aí que a gente vai começar...

A gente tem uma função composta, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

f g ' = f ' g ⋅ g '

Beleza?

Passo 2

Vamos derivar então por essa regrinha, sendo que aqui f = 3 x 4     e     g = c o t g   x   :

y ' = 12 c o t g 3 x   c o t g   x '

y ' = 12   c o t g 3 x   - c o s s e c 2 x

y ' =   - 12   c o t g 3 x   c o s s e 2 x

Prontinho! Derivada encontrada!

Vamos continuar...

Passo 3

Agora vamos relembrar como é a equação da nossa reta tangente? É assim ó:

y - f a = f ' a ( x - a )

Onde a é o ponto pedido, no nosso caso a = π 4 .

Vamos aplicar isso ali na fórmula então!

y - 3   c o t g 4 π 4 =   - 12   c o t g 3 π 4   x - π 4

y - 3 1 = - 12   1 x - π 4

y =   - 12 x + 12 π 4 + 3

y =   - 12 x + 3 π + 3

Prontinho! Essa é a equação da reta tangente ao gráfico em x = π 4 😊

Resposta

y =   - 12 x + 3 π + 3

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