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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 52

Encontre d^2 y // d x^2 :

y = s e n (3 x^2)

Passo 1

E aí, tudo beleza?

A gente tem funções compostas, então a gente vai derivar de fora pra dentro, usando a regra da Cadeia, que é assim:

(f (g))^' = f^' (g) * g '

Beleza?

A questão pede a segunda derivada, que é d^2 y // d x^2 , mas sem pânico, é só a gente derivar duas vezes, bora lá?

Passo 2

Vamos derivar a primeira vez, usando a nossa queridinha regra da cadeia:

(d y)/(d x) = cos 3 x^2 (3 x^2)^'

(d y)/(d x) = cos 3 x^2 ( 6 x )

(d y)/(d x) = 6 x cos 3 x^2

Tranquilo né? Primeira derivada já foi!

Passo 3

Agora a gente vai derivar a expressão de d y // d x pra encontrar d^2 y // d x^2 , aqui a gente vai usar a regra do produto também, olha só:

(d^2 y)/(d x^2) = (6 x)^' (cos 3 x^2) + (6 x) (cos 3 x^2)^'

(d^2 y)/(d x^2) = 6 cos 3 x^2 + 6 x (- s e n 3 x^2) (3 x^2) '

(d^2 y)/(d x^2) = 6 cos 3 x^2 - 6 x s e n 3 x^2 ( 6 x )

(d^2 y)/(d x^2) = 6 cos 3 x^2 - 36 x^2 s e n 3 x^2

Prontinho! Acabamos por aqui😉

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = 6 cos 3 x^2 - 36 x^2 s e n 3 x^2

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