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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 14

Encontre f^' ( x ) :

14. f (x) = root(3)(12 + sqrt(x))

Passo 1

Algumas funções são mais trabalhosas de se derivar, principalmente quando são compostas, envolvem frações, raízes, etc. Mas não tem mistério, juro! Só fazer devagar, aplicando a regra da cadeia, como sempre, que tudo dá certo!!

Essa f ( x ) , uma função raiz composta, pode ser representada assim:

f (x) = g [h (x) + i ( x )]

Onde i (x) = sqrt(x) , h (x) = 12 , e g [h (x) + i ( x )] = root(3)(12 + sqrt(x)) .

Aplicando a regra da cadeia, derivando “ de fora pra dentro”, temos pra f^' ( x ) :

f^' (x) = g^' [h (x) + i ( x )] * [h^' (x) + i^' ( x )]

Passo 2

E você lembra como é a derivada de uma função raiz cúbica do tipo f (u) = root(3)(u) ? Vamos determinar! Começamos por reescrever u da seguinte forma:

f (u) = root(3)(u) = u^(1 // 3)

Agora, derivamos pela regra do quociente, como já estamos acostumados. Vamos ter:

f^' (u) = (1)/(3) * u^(((1)/(3) - 1)) * u '

f^' (u) = (1)/(3) * u^((- (2)/(3))) * u '

f^' (u) = (1)/(3) * (1)/(u^((2)/(3))) * u '

f^' (u) = (1)/(3 * u^((2)/(3))) * u '

:. f^' (u) = (1)/(3 * root(3)(u^2)) * u '

Então, aqui a gente tem que (1)/(3 * root(3)(u^2)) representa g^' [h (x) + i ( x )] e u ' representa [h^' (x) + i^' ( x )] . Sabido isso, já podemos derivar, aplicando as funções.

Passo 3

Vamos ter:

f^' (x) = (1)/(3 * root(3)((12 + sqrt(x))^2)) * (0 + (1)/(2 sqrt(x)))

Aqui, lembrando de exercícios anteriores, a derivada da função raiz quadrada do tipo i (x) = sqrt(x) vale i^' (x) = (1)/(2 sqrt(x)) . Continuando, temos:

f^' (x) = (1)/(3 * root(3)((12 + sqrt(x))^2) * 2 sqrt(x))

Não tem muito mais simplificações possíveis de fazer, já chegamos à resposta final, assim:

:. f^' (x) = (1)/(6 * root(3)((12 + sqrt(x))^2) * sqrt(x))

Resposta

f^' (x) = (1)/(6 * root(3)((12 + sqrt(x))^2) * sqrt(x))

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Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4
Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra