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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 6

Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado

y = 2 x 3 - 5 x   ,   - 1,3

Passo 1

Olá, vamos para mais uma resolução?

Aqui a gente vai precisar encontrar a equação da reta tangente a curva:

y = 2 x 3 - 5 x  

No ponto

( - 1,3 )

Para isso, iremos utilizar a equação abaixo:

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Onde m é a inclinação da reta tangente no ponto x = a que no nosso caso é x = a = - 1 . Após calcularmos a inclinação da reta tangente, iremos utilizar a equação:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Para de fato encontrarmos a equação da reta tangente. Onde o ponto ( x 0 , y 0 ) é o ponto de tangencia dado no enunciado. Ele é um ponto que obrigatoriamente queremos que nossa reta contenha.

Passo 2

Vamos começar a resolução, primeiro vamos calcular o coeficiente angular m :

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f ( a ) h

Como comentado, a = - 1 :

f - 1 = - 2 + 5 = 3

f - 1 + h = 2 - 1 + h 3 - 5 ( - 1 + h )

Substituindo na formula:

m = lim h → 0 ⁡ f - 1 + h - 3 h

m = lim h → 0 ⁡ 2 - 1 + h 3 - 5 - 1 + h - 3 h

Colocando ( - 1 + h ) evidência no termo ao cubo:

m = lim h → 0 ⁡ 2 - 1 + h 2 ( - 1 + h ) - 5 - 1 + h - 3 h

Realizando o produto notável e a distributiva do segundo termo:

m = lim h → 0 ⁡ 2 h 2 - 2 h + 1 h - 1 - 5 h + 2 h

Realizando agora a distributiva no primeiro termo:

m = lim h → 0 ⁡ 2 h 3 - 2 h 2 + h - h 2 + 2 h - 1 - 5 h + 2 h

Realizando a distributiva novamente:

m = lim h → 0 ⁡ 2 h 3 - 6 h 2 + 6 h - 2 - 5 h + 2 h

Simplificando os termos semelhantes:

m = lim h → 0 ⁡ 2 h 3 - 6 h 2 + h h

Simplificando o h de todos os termos:

m = lim h → 0 ⁡ 2 h 2 - 6 h + 1

m = 0 - 0 + 1

m = 1

Agora, calcularemos a equação da reta tangente:

y - y 0 = m x - x 0

Temos que o nosso ponto é:

( x 0 , y 0 ) = ( - 1,3 )

Então agora temos nossa reta:

y - 3 = x + 1

y = x + 4

Resposta

y = x + 4

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