Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:

24) y = x + tg x, (pi, pi)

Passo 1

Oiee galera, bora resolver essa comigo

O enunciado nos apresenta uma função y = x + t g   x e pede para encontrar uma equação da reta tangente à curva representada por essa função no ponto dado π ,   π .

Entendimento da função: Primeiro, precisamos entender a função   y   =   x   +   t a n x . Essa função é a soma de duas funções: (   x   ) , que é uma função linear, e t a n ( x ) , que é a tangente de x .

Derivada da função: Para encontrar a equação da reta tangente à curva em um ponto específico, precisamos calcular a derivada da função em relação a (   x   ) . Isso nos dará a taxa de variação instantânea da função em qualquer ponto.

Substituição do ponto na derivada: Em seguida, substituímos as coordenadas do ponto especificado na derivada da função. Isso nos dará a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

Equação da reta tangente: Finalmente, usamos a forma ponto-inclinação da equação de uma reta para escrever a equação da reta tangente, usando as coordenadas do ponto e a inclinação da reta.

No caso da função y   =   x   +   t a n x a derivada é encontrada aplicando a regra da soma e a regra da tangente. Depois de encontrar a derivada, substituímos as coordenadas do ponto ( π ,   π )   nela para encontrar a inclinação da reta tangente. Por fim, usamos a equação ponto-inclinação para escrever a equação da reta tangente.

Passo 2

Legal galera, a inclinação da reta tangente é obtida pela derivada da função, lembram?

m t g = y '

Então vamos derivar cada termo separadamente:

y = d d x x + d d x t g   x

Lembrando que as derivadas trigonométricas são tabeladas:

d d x tg ⁡ x   = s e c ²   x

E:

d d x x = 1

Substituindo:

y ' = 1 + sec ² ⁡ x

Lembrando que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

No ponto π , π :

y ' = 1 + 1 ( cos ⁡ π ) ² = 2

Passo 3

Não é bem isso que queremos, não é? Sabemos que:

m t g = y ' = 2

Mas queremos a equação da reta tangente que passa por π , π . Então vamos lembrar a equação da reta:

y - y p = m t g ( x - x p )

Agora ficou fácil, é só substituir:

y - π = 2 ( x - π )

Então:

y = 2 x - π

Finalizamos mais uma!

Resposta

y = 2 x - π

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