Se uma equação de uma reta tangente à curva f(x) no ponto onde a = 2 é, encontre f(2) e f'(2) .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos pede pra encontrar f 2   e   f ' ( 2 ) sabendo que a tangente a curva de f ( x ) no ponto x = 2 é:

y = 4 x - 5

Confuso né?! Vamos tentar entender!

Sabemos que f ' a é a inclinação da reta tangente quando x = a , também chamada de m . Temos que a equação de uma reta qualquer pode ser dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Mas no nosso caso a gente já tem a equação da reta tangente em x = 2 , o f ' 2 é a inclinação dessa reta tangente!

Pra achar f 2 a gente vai substituir f ' 2 na equação geral da reta, assim como o ponto x = 2 . Isolar f 2 e partir pro abraço!

Passo 2

Temos a equação da reta tangente em x = 2 :

y = 4 x - 5

Observando podemos tirar que a inclinação dessa reta é igual a 4 , portanto:

f ' 2 = 4

Uma já foi!

Passo 3

Agora precisamos calcular f 2 . Usando a equação genérica da reta e substituindo pro nosso caso temos que:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Vimos que:

a = 2

f ' 2 = 4

Substituindo:

y - f 2 = f ' ( 2 ) ( x - 2 )

y - f 2 = 4 ( x - 2 )

f 2 = - 4 x + 8 + y

Substituindo y :

f 2 = - 4 x + 8 + 4 x - 5

f 2 = 3

Prontinho!

Resposta

f 2 = 3

f ' 2 = 4

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