Enunciado

Se uma equação de uma reta tangente à curva f ( x ) no ponto onde a = 2 é, encontre f 2   e   f ' ( 2 ) .

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos pede pra encontrar f 2   e   f ' ( 2 ) sabendo que a tangente a curva de f ( x ) no ponto x = 2 é:

y = 4 x - 5

Confuso né?! Vamos tentar entender!

Sabemos que f ' a é a inclinação da reta tangente quando x = a , também chamada de m . Temos que a equação de uma reta qualquer pode ser dada por:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Mas no nosso caso a gente já tem a equação da reta tangente em x = 2 , o f ' 2 é a inclinação dessa reta tangente!

Pra achar f 2 a gente vai substituir f ' 2 na equação geral da reta, assim como o ponto x = 2 . Isolar f 2 e partir pro abraço!

Passo 2

Temos a equação da reta tangente em x = 2 :

y = 4 x - 5

Observando podemos tirar que a inclinação dessa reta é igual a 4 , portanto:

f ' 2 = 4

Uma já foi!

Passo 3

Agora precisamos calcular f 2 . Usando a equação genérica da reta e substituindo pro nosso caso temos que:

y - f a = f ' ( a ) ( x - a )

Vimos que:

a = 2

f ' 2 = 4

Substituindo:

y - f 2 = f ' ( 2 ) ( x - 2 )

y - f 2 = 4 ( x - 2 )

f 2 = - 4 x + 8 + y

Substituindo y :

f 2 = - 4 x + 8 + 4 x - 5

f 2 = 3

Prontinho!

Resposta

f 2 = 3

f ' 2 = 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as equações das retas tangente e normal à curva y = 8 s e n 3 2 x no ponto π 12 ,1 .
Ache uma equação da reta normal à curva x - y = sqrt(x + y) no ponto ( 3 , 1 )
Ache as equações das retas tangentes à curva y = 2 x 3 + 4 x 2 - x que têm inclinação 1 2 .
Ache as equações das retas tangente e normal à curva 2 x 3 + 2 y 3 - 9 x y = 0 no ponto 2 ,1 .
Prove que as retas tangentes às curvas 4 y 3 - x 2 y - x + 5 y = 0 e x 4 - 4 y 3 + 5 x + y = 0 na origem são perpendiculares.