Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 70
Encontre uma parábola com a equação que tenha inclinação em , inclinação em , e passe pelo ponto .
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, queremos encontrar a equação de uma parábola
que tenha inclinação igual a na abcissa , inclinação igual a na abcissa e que passe pelo ponto .
Boa, então se liga no que a gente vai precisar. Para encontrar essa equação precisamos dizer qual o valor dos coeficientes , de acordo com as condições dadas e depois substituirmos nessa equação geral.
E para isso vamos lembrar que a derivada da função em um ponto é igual a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Então, entendendo a equação da parabola como sendo uma função do tipo:
Usaremos a sua derivada e o ponto conhecido para encontrar os coeficientes que precisamos.
Então esse é o plano. Vem que te ajudo nesse passo a passo.
Passo 2
Vamos comecar usando a informação de que essa parábola tem inclinação igual a 4 em .
Sendo
Sua derivanda será:
E no ponto ela assume valor , isso nos dará a seguinte relação:
Ou seja:
Tá, não diz muito mas já ajuda. Vamos guardar essa equação aí. Beleza.
Passo 3
O enunciado também diz que ela tem inclinação igual a em , isso siguinifica que a reta tangente ao gráfico dessa parabola tem inclinação dada por:
E sua derivada agora será:
O que nos dará outra equação:
Opa, já temos duas equação e duas incógnitas. Já dá pra montar um sisteminha, hem!!!
Vamos nessa.
Passo 4
Até aqui sabemos que
Somando as duas equações, teremos:
O que nos diz que
Achamos o primeiro coeficiente.
Substituindo esse valor e qualquer uma das equações, teremos:
Achamos os dois primeiros coeficiente, mas ainda falta achar o .
Passo 5
Para acharmos o valor de , usamos o fato de a parábola passar pelo ponto .
Assim, basta substituir esse ponto na função da parábola juntamente como os coeficiente que já conhecemos. Assim:
Assim, juntando tudo que encontramos, teremos a equação da parábola da por:
E isso é tudo! Até a próxima questão!!!