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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.1 - Ex. 70

Encontre uma parábola com a equação y = a x 2 + b x + c que tenha inclinação 4 em x = 1 , inclinação - 8 em x = - 1 , e passe pelo ponto 2,15 .

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, queremos encontrar a equação de uma parábola

y = a x 2 + b x + c

que tenha inclinação igual a 4 na abcissa x = 1 , inclinação igual a - 8 na abcissa x = - 1 e que passe pelo ponto ( 2   ,   15 ) .

Boa, então se liga no que a gente vai precisar. Para encontrar essa equação precisamos dizer qual o valor dos coeficientes a ,   b   e   c , de acordo com as condições dadas e depois substituirmos nessa equação geral.

E para isso vamos lembrar que a derivada da função em um ponto é igual a inclinação da reta tangente a essa função nesse ponto. Então, entendendo a equação da parabola como sendo uma função do tipo:

f x = y = a x 2 + b x + c

Usaremos a sua derivada e o ponto conhecido para encontrar os coeficientes que precisamos.

Então esse é o plano. Vem que te ajudo nesse passo a passo.

Passo 2

Vamos comecar usando a informação de que essa parábola tem inclinação igual a 4 em x = 1 .

Sendo

y = a x 2 + b x + c

Sua derivanda será:

y ' = 2 a x + b

E no ponto x = 1 ela assume valor 4 , isso nos dará a seguinte relação:

y ' = 2 a 1 + b = 4

Ou seja:

2 a + b = 4

Tá, não diz muito mas já ajuda. Vamos guardar essa equação aí. Beleza.

Passo 3

O enunciado também diz que ela tem inclinação igual a - 8 em x = - 1 , isso siguinifica que a reta tangente ao gráfico dessa parabola tem inclinação dada por:

E sua derivada agora será:

y ' = 2 a - 1 + b = - 8

O que nos dará outra equação:

- 2 a + b = - 8

Opa, já temos duas equação e duas incógnitas. Já dá pra montar um sisteminha, hem!!!

Vamos nessa.

Passo 4

Até aqui sabemos que

2 a + b = 4 - 2 a + b = - 8

Somando as duas equações, teremos:

2 b = - 4

O que nos diz que

b = - 2

Achamos o primeiro coeficiente.

Substituindo esse valor e qualquer uma das equações, teremos:

2 a - 2 = 4

2 a = 6

a = 3

Achamos os dois primeiros coeficiente, mas ainda falta achar o c .

Passo 5

Para acharmos o valor de c , usamos o fato de a parábola passar pelo ponto 2   ,   15 .

Assim, basta substituir esse ponto na função da parábola juntamente como os coeficiente que já conhecemos. Assim:

f x = y = a x 2 + b x + c

15 = a 2 2 + b 2 + c

15 = 3 2 2 + - 2 2 + c

c = 7

Assim, juntando tudo que encontramos, teremos a equação da parábola da por:

y = 3 x 2 - 2 x + 7

E isso é tudo! Até a próxima questão!!!

Resposta

y = 3 x 2 - 2 x + 7

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