Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado:

y = s en ⁡ ( 1 + x 3 ) ,     x = - 3

Passo 1

Certo galerinha, primeira coisa a se saber aqui é como achamos a equação de uma reta qualquer?

y - y 0 = m x - x 0

Quando a reta é tangente ao ponto nós teremos que a inclinação é a derivada da função naquele ponto, matematicamente:

m = d y d x | x = - 3

Então primeiramente vamos achar d y d x .

Antes de qualquer coisa vamos chamar:

u = 1 + x 3

f u = sen ⁡ u

Lembrando da Regra da Cadeia:

d y d x = d f ( u ) d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d x :

d u d x = 3 x 2

Agora vamos derivar f ( u ) em função de u :

d f ( u ) d u = cos ⁡ u

E por fim:

d y d x = 3 x 2 . cos ⁡ u

Substituindo u :

d y d x = 3 x 2 . cos ⁡ 1 + x 3

Quando x = - 3 :

d y d x | x = - 3 = 3 - 3 2 . cos ⁡ 1 + - 3 3

d y d x | x = - 3 = 27 . cos ⁡ - 26

Lembrando das propriedades do cosseno:

d y d x | x = - 3 = 27 . cos ⁡ 26

Então:

m = d y d x | x = π = 27 . cos ⁡ 26

Passo 3

Bom, a inclinação nós já temos e agora?

Precisamos de x 0 e y 0 , certo?

Nós já temos que x 0 = - 3 , então basta jogarmos na fórmula da função para achar o seu par:

y 0 = sen ⁡ ( 1 + x 0 3 )

Substituindo:

y 0 = sen ⁡ ( 1 + - 3 3 )

y 0 = sen ⁡ ( - 26 )

y 0 = - sen ⁡ ( 26 )

Lançamos tudo na equação da reta:

y + sen ⁡ ( 26 ) = 27 . cos ⁡ 26 x + 3

y = ( 27 . cos ⁡ 26 ) . x + ( 81 . cos ⁡ 26 - sen ⁡ 26 )

E chegamos a tão esperada equação da reta tangente !!

Resposta

y = ( 27 . cos ⁡ 26 ) . x + ( 81 . cos ⁡ 26 - sen ⁡ 26 )

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