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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.6 - Ex. 34

Encontre (d y)/(d x) :

y = (1 + cossec (x^2))/(1 - cotg (x^2))

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Como resolvemos este monstro?

Nem é tão complicado, vamos primeiro relembrar que:

cossec (x^2) = (1)/(sen (x^2))

cotg (x^2) = (cos (x^2))/(sen (x^2))

Vamos substituir:

y = (1 + (1)/(sen (x^2)))/(1 - (cos (x^2))/(sen (x^2)))

Vamos fazer umas adaptações:

y = ((sen (x^2) + 1)/(sen (x^2)))/((sen (x^2) - cos (x^2))/(sen (x^2)))

y = (sen (x^2) + 1)/(sen (x^2)) xx (sen (x^2))/(sen (x^2) - cos (x^2))

y = (sen (x^2) + 1)/(sen (x^2) - cos (x^2))

Complicou – se!!

Passo 2

Mas a gente dá um jeito, vamos dar nomes mais simples a esses bois:

f (x) = sen (x^2) + 1

g (x) = sen (x^2) - cos (x^2)

E lembrando da Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = (g (x) . (d f ( x ))/(d x) - f ( x ) . (d g ( x ))/(d x))/(g (x)^2)

Vamos começar chamando:

u = x^2

Então:

f (u) = sen (u) + 1

g (u) = sen (u) - cos (u)

Lembrando que:

(d f ( x ))/(d x) = (d f ( u ))/(d u) . (d u)/(d x)

(d g ( x ))/(d x) = (d g ( u ))/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 3

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x:

(d u)/(d x) = 2 x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( u ) em função de u :

(d f ( u ))/(d u) = co s u

(d g ( u ))/(d u) = cos u + sin u

E por fim:

(d f ( x ))/(d x) = (cos u) . (2 x)

(d g ( x ))/(d x) = (cos u + sin u) . (2 x)

Substituindo u :

(d f ( x ))/(d x) = 2 x . cos x^2

(d g ( x ))/(d x) = 2 x . cos x^2 + 2 x . sin x^2

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

(d y)/(d x) = ((sen (x^2) - cos (x^2)) . (2 x . cos x^2) - ( sen (x^2) + 1 ) . (2 x . cos x^2 + 2 x . sin x^2))/((sen (x^2) - cos (x^2))^2)

Vamos deixar isso mais bonito:

(d y)/(d x) = (2 x . sen (x^2) . cos ( x^2 ) - 2 x . cos^2 (x^2) - ( 2 x . sen (x^2) . cos (x^2) + 2 x . se n^2 ( x^2 ) + 2 x . cos ( x^2 ) + 2 x . sin ( x^2 ) ))/((sen (x^2) - cos (x^2))^2)

(d y)/(d x) = (- 2 x . cos^2 (x^2) - 2 x . sen^2 (x^2) - 2 x . cos (x^2) - 2 x . sin ( x^2 ))/((sen (x^2) - cos (x^2))^2)

(d y)/(d x) = (- 2 x . [cos^2 (x^2) + sen^2 (x^2) + cos (x^2) + sin ( x^2 )])/(sen^2 (x^2) - 2 . sen (x^2) . cos (x^2) + cos^2 (x^2))

Lembrando que:

cos^2 (x^2) + sen^2 (x^2) = 1

Então:

(d y)/(d x) = (- 2 x . [1 + cos (x^2) + sin ( x^2 )])/(1 - 2 . sen (x^2) . cos (x^2))

Essa foi quente ein !!

Resposta

(d y)/(d x) = (- 2 x . [1 + cos (x^2) + sin ( x^2 )])/(1 - 2 . sen (x^2) . cos (x^2))

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