Encontre dy/dx:

y = (1 + cossec(x^2)) / (1 - cotg(x^2))

Passo 1

Por aqui a gente não para não !!

Como resolvemos este monstro?

Nem é tão complicado, vamos primeiro relembrar que:

cossec  ⁡ x 2 = 1 sen  ⁡ x 2

cotg  ⁡ x 2 = cos  ⁡ x 2 sen  ⁡ x 2

Vamos substituir:

y = 1 + 1 sen  ⁡ x 2 1 - cos  ⁡ x 2 sen  ⁡ x 2

Vamos fazer umas adaptações:

y = sen  ⁡ x 2 + 1 sen  ⁡ x 2 sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2 sen  ⁡ x 2

y = sen  ⁡ x 2 + 1 sen  ⁡ x 2 × sen  ⁡ x 2 sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2

y = sen  ⁡ x 2 + 1 sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2

Complicou – se!!

Passo 2

Mas a gente dá um jeito, vamos dar nomes mais simples a esses bois:

f x = sen  ⁡ x 2 + 1

g x = sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2

E lembrando da Regra do Quociente:

d y d x = g x . d f ( x ) d x - f ( x ) . d g ( x ) d x g x 2

Vamos começar chamando:

u = x 2

Então:

f u = sen  ⁡ u + 1

g u = sen  ⁡ u - cos  ⁡ u

Lembrando que:

d f ( x ) d x = d f ( u ) d u . d u d x

d g ( x ) d x = d g ( u ) d u . d u d x

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 3

Vamos começar por d u d x . Então vamos derivar u com relação à x:

d u d x = 2 x

Agora vamos derivar f ( u ) e g ( u ) em função de u :

d f ( u ) d u = co s ⁡ u

d g ( u ) d u = cos ⁡ u + sin ⁡ u

E por fim:

d f ( x ) d x = cos ⁡ u . 2 x

d g ( x ) d x = cos ⁡ u + sin ⁡ u . 2 x

Substituindo u :

d f ( x ) d x = 2 x . cos ⁡ x 2

d g ( x ) d x = 2 x . cos ⁡ x 2 + 2 x . sin ⁡ x 2

E agora voltamos lá na Regra do Quociente:

d y d x = sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2 . 2 x . cos ⁡ x 2 - ( sen  ⁡ x 2 + 1 ) . 2 x . cos ⁡ x 2 + 2 x . sin ⁡ x 2 sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2 2

Vamos deixar isso mais bonito:

d y d x = 2 x . sen  ⁡ x 2 . cos ⁡ ( x 2 ) - 2 x . cos 2 ⁡ x 2 - ( 2 x . sen  ⁡ x 2 . cos ⁡ x 2 + 2 x . se n 2 ⁡ ( x 2 ) + 2 x . cos ⁡ ( x 2 ) + 2 x . sin ⁡ ( x 2 ) ) sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2 2

d y d x = - 2 x . cos 2 ⁡ x 2 - 2 x . sen 2 ⁡ x 2 - 2 x . cos ⁡ x 2 - 2 x . sin ⁡ ( x 2 ) sen  ⁡ x 2 - cos  ⁡ x 2 2

d y d x = - 2 x . cos 2 ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ x 2 + cos ⁡ x 2 + sin ⁡ ( x 2 ) sen 2   ⁡ x 2 - 2 . sen  ⁡ x 2 . cos  ⁡ x 2 + cos 2   ⁡ x 2

Lembrando que:

cos 2 ⁡ x 2 + sen 2 ⁡ x 2 = 1

Então:

d y d x = - 2 x . 1 + cos ⁡ x 2 + sin ⁡ ( x 2 ) 1 - 2 . sen  ⁡ x 2 . cos  ⁡ x 2

Essa foi quente ein !!

Resposta

d y d x = - 2 x . 1 + cos ⁡ x 2 + sin ⁡ ( x 2 ) 1 - 2 . sen  ⁡ x 2 . cos  ⁡ x 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados