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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 25

Encontre a derivada da função

25) y = 5^(- (1)/(x))

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = - (1)/(x) = - x^(- 1)

Então:

y = 5^u

Muito bem, já achamos u e y , em função de u . Agora precisamos achar (d y)/(d x) , mas como?

Bem fácil:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x :

(d u)/(d x) = x^(- 2) = (1)/(x^2)

Agora vamos derivar y em função de u para achar (d y)/(d u) :

(d y)/(d u) = 5^u ( ln 5 )

Substituindo u :

(d y)/(d u) = 5^(- (1)/(x)) ( ln 5 )

Agora vamos colocar na derivada (d y)/(d x) do passo 1:

(d y)/(d x) = 5^(- (1)/(x)) ( ln 5 ) xx ((1)/(x^2))

Então:

(d y)/(d x) = (5^(- (1)/(x)) (ln 5))/(x ²)

Resposta

y^' = (5^(- (1)/(x)) (ln 5))/(x ²)

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