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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 32

Encontre a derivada da função

32 y = sec ² ( m theta ) )

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:

y = sec ² ( m theta )

Perceba que aqui podemos interpretar como uma função dentro de outra... veja que a gente pode fazer da seguinte forma:

y = sec ² u

Onde

u = m theta

Certinho até aí??

Nesse sentido, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra.

E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Que é dada da seguinte forma:

(d y)/(d theta) = (d y)/(d u) . (d u)/(d theta)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d theta) . Então vamos derivar u com relação à theta , lembrando que m será uma constante:

(d u)/(d theta) = m

Passo 3

Para achar (d y)/(d u) basta usarmos novamente a Regra da Cadeia. Temos:

t = sec u

Então:

y = t ²

Sendo assim, pela Regra da Cadeia, temos:

(d y)/(d u) = (d y)/(d t) . (d t)/(d u)

Derivando cada termo:

(d y)/(d t) = 2 t

(d t)/(d u) = sec u . t g u

Substituindo na Regra da Cadeia:

(d y)/(d u) = 2 t sec u . t g u

Substituindo u e t :

(d y)/(d u) = 2 sec ( m theta ) sec ( m theta ) . t g ( m theta )

(d y)/(d u) = 2 sec ² ( m theta ) . t g ( m theta )

Passo 4

Já temos as nossas duas derivadas!!

Para finalizar vamos jogar nossos resultados na equação do Passo 1:

(d y)/(d theta) = 2 m sec ² ( m theta ) . t g ( m theta )

Resposta

(d y)/(d theta) = 2 m sec ² ( m theta ) . t g ( m theta )

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