Encontre a derivada da função

32 y = sec²(m theta) )

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:

y = sec ² ⁡ ( m θ )

Perceba que aqui podemos interpretar como uma função dentro de outra... veja que a gente pode fazer da seguinte forma:

y = sec ² ⁡ u

Onde

u = m θ

Certinho até aí??

Nesse sentido, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra.

E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Que é dada da seguinte forma:

d y d θ = d y d u . d u d θ

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d θ . Então vamos derivar u com relação à θ , lembrando que m será uma constante:

d u d θ = m

Passo 3

Para achar d y d u basta usarmos novamente a Regra da Cadeia. Temos:

t = sec ⁡ u

Então:

y = t ²

Sendo assim, pela Regra da Cadeia, temos:

d y d u = d y d t . d t d u

Derivando cada termo:

d y d t = 2 t

d t d u = sec ⁡ u . t g   u

Substituindo na Regra da Cadeia:

d y d u = 2 t sec ⁡ u . t g   u

Substituindo u e t :

d y d u = 2 sec ⁡ ( m θ ) sec ⁡ ( m θ ) . t g   ( m θ )

d y d u = 2 sec ² ⁡ ( m θ ) . t g   ( m θ )

Passo 4

Já temos as nossas duas derivadas!!

Para finalizar vamos jogar nossos resultados na equação do Passo 1:

d y d θ = 2 m sec ² ⁡ ( m θ ) . t g   ( m θ )

Resposta

d y d θ = 2 m sec ² ⁡ ( m θ ) . t g   ( m θ )

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