Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família. Esboce ambas as famílias de curvas no mesmo sistema de coordenadas.

y = (a * x)^3

x^2 + (3y)^2 = b

Passo 1

Bom, galera nesse exercício queremos mostrar que as famílias das curvas

y = a x 3

x 2 + 3 y 2 = b

São trajetórias ortogonais uma em relação à outra. Ou seja, toda curva de uma família é ortogonal a toda curva da outra família.

E pra isso temos que lembrar que duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção

Para que as curvas sejam perpendiculares, o coeficiente angular de uma reta tangente à curva deve ser igual ao inverso negativo do coeficiente da outra curva. Assim, as trajet��rias são ortogonais uma em relação a outra.

Ou seja:

m 1 = - 1 m 2

Então precisaremos dos coeficientes angulares de cada uma delas para compararmos e ver se isso acontece.

Sendo o coeficiente angular dado pela derivada da curva no ponto de interseção.

m = y ' P 0

Bom, vamos ver se isso é verdade.

Passo 2

Vamos começar com a primeira família de curvas, que está expressa como:

y = a x 3

Pela regra do expoente sua derivada será:

y ' = 3 a x 2

Em um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , a inclinação da reta tangente é

y ' = 3 a x 0 2

Show, vamos guardar essa informação e calcular o coeficiente angular da outra família de curvas.

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para a outra curva

x 2 + 3 y 2 = b

Mas aqui, para encontrar y ' precisaremos fazer uma derivação implícita. Para isso derivamos cada uma das parcelas em relação a x e entendendo que y é uma função de x que.

Assim:

x 2 ' + 3 y 2 ' = b '

O que nos dará:

2 x + 6 y y ' = 0

Agora, vamos isolar y ' , para termos a inclinação da reta tangente a curva que derivamos

6 y y ' = - 2 x

Assim:

y ' = - x 3 y

Como y = a x 3

Podemos substituir em y ' , ficando com

y ' = - x 3 y = - 1 3 a x 2

Em um ponto arbitrário P =   ( x 0 ,     y 0 ) , a inclinação da reta tangente é

y ' = - 1 3 a x 0 2

Veja que realmente uma é o inverso negativo da outra, logo as curvas são perpendiculares.

Por fim, graficamente:

Resposta

Demonstração.

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