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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 5

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:

x = e t

y = t - ln ⁡ t 2

t = 1

Passo 1

O vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = t - ln ⁡ t 2

d y d t = 1 - 1 t 2 ∙ 2 t  

d y d t = 1 - 2 t  

Agora a derivada de x :

x = e t

d x d t = 1 2 t e t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 1 - 2 t 1 2 t e t

Em t = 1 :

d y d x = 1 - 2 1 1 2 1 e 1 = - 2 e

Passo 3

Agora a gente precisa o ponto de tangencia. Para isso é só substituir t = 1 na parametrização da curva.

x 1 = e 1 = e 1

y 1 = 1 - ln ⁡ 1 2 = 1

E temos o ponto ( e , 1 )

Passo 4

E pronto! Agora temos tudo que precisamos para encontrar a equação da reta tangente. É só substituir na fórmula:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 1 = - 2 e ( x - e )

Resposta

y - 1 = - 2 e ( x - e )

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