Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima? x = 2 sen ⁡ t y = 3 cos ⁡ t 0 ≤ t ≤ 2 π

d y d x = - 3 2 tan ⁡ t d 2 y d x 2 = - 3 4 sec 3 ⁡ t A concavidade da curva é para cima quando π 2t3 π 2 .

Enunciado

A derivada primeira da curva é dada por

Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.

Vamo começar pela derivada de :

Agora a derivada de :

Substituindo na fórmula

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

Então, vamos pegar a derivada e derivar em relação a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.

Já temos tudo, então agora é só substituir.

Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, precisamos fazer

Essa derivada segunda aí vai ser maior do que zero quando , por causa daquele sinal de menos ali na frente.

E isso acontece quando .

E isso acontece quando

A concavidade da curva é para cima quando .