Em quais pontos a curva r t = t   i + 2 t - t 2   k intercepta o paraboloide z = x 2 + y 2 ?

Passo 1

Fala pessoal! Tudo tranquilo? Vamos começar a resolver?

Galera, temos que descobrir os pontos de intersecção da curva paramétrica

r t = t   i + 2 t - t 2   k

com a superfície do paraboloide

z = x 2 + y 2

Beleza?

  1. Precisamos igualar as coordenadas x , y e z da curva com as coordenadas do paraboloide.
  2. Substituir os termos paramétricos na equação do paraboloide para encontrar o valor de t .
  3. Substituir os valores de t nas equações paramétricas para determinarmos os pontos de interseção.

Let’s go!

Passo 2

Vamos começar igualando as variáveis assim:

r t = t   i + 2 t - t 2   k

Separando as coordenadas

x = t

y = 0

z = 2 t - t 2

Agora, vejamos para quais valores de t , a equação do paraboloide é satisfeita.

z = x 2 + y 2

Substituindo as equações

2 t - t 2 = t 2 + 0 2

2 t 2 - 2 t = 0

2 t t - 1 = 0

Temos então o valor de t .

t = 0           o u           t = 1

Passo 3

Show! Tendo os valores de t , é só calcular os valores de x , y e z correspondentes:

t = 0   :                     x ( 0 ) = 0   ,           y ( 0 ) = 0   ,           z ( 0 ) = 2   .   0 - 0 2 = 0

t = 1   :                     x 1 = 1   ,           y 1 = 0   ,           z 1 = 2   .   1 - 1 2 = 1

Então os pontos de intersecção são: 0 ,   0 ,   0 e ( 1 ,   0 ,   1 ) .

Resposta

0 ,   0 ,   0 e ( 1 ,   0 ,   1 )

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