Encontre as equações para o círculo osculador da parábola nos pontos e . Trace os dois círculos osculadores e a parábola na mesma tela.

O circulo osculador tem raio , ou seja o raio é o inverso da curvatura da função no ponto, então para saber o raio, basta calcular a curvatura.

Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura

Vamos ter que derivar a função duas vezes

Substituindo na fórmula, temos

No ponto

Então o raio do círculo osculador é

No ponto

Então o raio é

Analisando o gráfico da parábola

No ponto , temos que o vetor normal da função é vertical no sentido negativo, então o centro da circunferência estára no eixo , mas no sentido contrário a normal. Como o ponto é a origem e o centro estará no eixo , o do centro tem que ter distancia do ponto igual ao raio, como o raio é o . Então temos a equação da circunferência com a equação

No plano

No ponto , temos que a inclinação da tangente da função é

Então a normal, que é perpendicular tem inclinação . O centro da circunferência tem que estar nessa reta perpendicular a tangente, com distancia do ponto igual ao raio

Então precisamos achar um ponto que é o centro da circunferência, esse ponto tem que estar na reta e ter distancia do ponto .

Primeiro, se o ponto está na reta, então temos que o ponto é , calculando agora a distancia do ponto

Podemos perceber que , já que podemos colocar em evidencia e o quadrado some com ele, então

Substituindo o valor da distancia

Neste ponto, vamos assumir que , porque se for positivo, pegaremos o ponto no outro sentido em relação a normal, então tiraremos o módulo e colocaremos um menos fora pra compensar

Se

Então o centro da circunferência é e a equação é

No plano