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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.8 - Ex. 25

A água está fluindo a uma taxa constante de 1   p é 3 / m i n para encher um tanque cilíndrico com 3   p é s de raio e 5   p é s de altura. Supondo que o tanque esteja vazio inicialmente, faça uma conjectura sobre o peso médio da água nele no intervalo de tempo necessário para enchê-lo e verifique-a por integração. [Considere a densidade específica da água como sendo de 62,4   l i b r a s   p o r   p é   c ú b i c o .]

Passo 1

Bom, inicialmente temos que calcular o volume do tanque para saber quantos pés por minuto o recipiente suporta!

V = π r 2 h

V = π × 3 2 × 5 = 45 π   f t 3

A taxa constante nos fornece informações sobre quantos minutos leva para encher o tanque, então a partir dela, temos:

1 f t 3 m i n = x   m i n 45   f t 3                 ∴       x = 45 π   m i n    

Então, teremos um intervalo que vai de 0 a 45 π   m i n .

Passo 2

Como a nossa função será o peso médio, temos que

p t = 62,4 t

E o peso médio dado por:

p m = 1 b - a ∫ a b p t d t

Assim, calculando o peso médio, temos:

p m = 1 45 π - 0 ∫ 0 45 π 62,4 t d t

p m = 1 45 π 62,4 t 2 2 0 4 5 π

p m = 1 45 π 63180 π 2 = 1404 π

Prontinho!!

Resposta

1404 π

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