Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios adicionais e avançados - Ex. 23
Encontre o valor de para o qual o limite
É finito e avalie o limite.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, escreveremos as funções e usando a série de Taylor em . A série de Taylor da função seno é:
Que pode ser escrita como
Se nós incluímos o termo no lugar de na expressão de .
Que pode ser escrita como
Passo 2
Concluímos que podemos escrever o numerador como:
Expandindo os termos da série, nós obtemos o seguinte resultado
Com isso, nós temos que
Se nós dividimos a expressão por , nós temos a seguinte fração
Agora vamos analisar o limite quando .
Passo 3
Para o limite
Ser finito, o termo precisa a . Então, vamos supor o seguinte, se é diferente de zero, então o termo vai para o infinito quando vai para , com isso, a expressão
Vai para (porque todas as expressões depois de contêm ). Infinito menos um número finito ainda é infinito. Portanto, se o limite for um número finito, então a expressão deve ser igual a , ou seja, deve ser igual a .
Se nós incluímos na expressão, nós temos que
Com isso, obtemos o seguinte resultado