Use a série do Exemplo 12(b) para calcular

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x - x x 3

Encontramos esse limite no Exemplo 4 da Seção 4.4, no Volume I, usando a Regra de L’Hôspital três vezes. Qual método você prefere?

Passo 1

No exemplo 12(b) o livro nos dá que

tg ⁡ x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + …

Substituindo a série no limite temos

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x - x x 3 = lim x → 0 ⁡ x + x 3 3 + 2 x 5 15 + … - x x 3

Passo 2

O primeiro termo da série se cancela com o - x fora então

= lim x → 0 ⁡ x 3 3 + 2 x 5 15 + … x 3

Colocando x 3 em evidencia no numerador

= lim x → 0 ⁡ x 3 1 3 + 2 x 2 15 + … x 3 = lim x → 0 ⁡ 1 3 + 2 x 2 15 + …

= 1 3

Este método, apesar de não ser simples encontrar a série da tg ⁡ x , se já tivermos ela como o enunciado nos deu é muito mais simples do que calcular o limite por L’Hôspital, já que seria necessário aplica-lo 3 vezes.

Resposta

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x - x x 3 = 1 3

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