Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.1 - Ex. 31
Mostre que as equações paramétricas
Onde descrevem o segmento de reta que une os pontos e .
E encontre as equações paramétricas para representar o segmento de reta de até .
Passo 1
Imagina que a gente tenha dois pontos no espaço, e .
Para encontrar um vetor que está na direção desses pontos, basta que a gente faça as coordenadas de um menos as coordenadas do outro, certo? Assim
Então esse é um vetor que está na direção do nosso segmento de reta que passa por esses dois pontos.
Passo 2
Como a equação paramétrica da reta é dada por
Onde são as coordenadas de um ponto por onde nossa reta passa e são as coordenadas do vetor diretor da nossa reta, isso significa que para parametrizar uma reta precisamos de duas coisas: um ponto que pertença a reta e um vetor na direção da reta.
Oras, no caso do segmento de reta já temos essas duas coisas.
A partir dos dois pontos que o nosso segmento passa nós conseguimos definir o vetor diretor, como fizemos no passo 1, e de quebra, já temos um ponto por onde a reta passa (temos dois no caso, podemos até escolher.
Dessa forma, se escolhermos o ponto para ser nosso , podmos dizer que as equações paramétricas do segmento de reta são dadas por
Passo 3
Dito isso, as equações paramétricas do segmento que passa de até é
Ou seja,