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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 42

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ d x 1 - x 2

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável.

x = sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ d x 1 - x 2 = ∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sin 2 ⁡ θ

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

∫ cos ⁡ θ d θ 1 - sin 2 ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ d θ cos 2 ⁡ θ = ∫ cos ⁡ θ d θ cos ⁡ θ = ∫ d θ

Calculando a integral:

∫ d θ = θ + C

Revertendo para a variável original:

θ + C = arcsin ⁡ θ + C

Resposta

arcsin ⁡ θ + C

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