Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 31
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da equação no ponto .
Passo 1
Para encontrarmo a reta tangente e a reta normal, precisamos da derivada no ponto que ele deu.
A equação da reta tangente vai ser:
Onde vai ser a derivada naquele ponto que ele deu.
A reta normal vai ser
Onde essa reta é perpendicular À reta tangente, então
Tudo se resume a achar a maldita da derivada.
Mas antes de qualquer coisa, vamos verificar que o ponto de fato está na função. Porque se não estiver a conta fica levemente grande.
Subistuindo:
Usando a ideia de função inversa trigonométrica, vamos ter:
Mas:
O ângulo que tem cosseno igual a é o , que é o nosso do ponto, ufa o ponto está na função.
Vamos para a derivada agora
Passo 2
Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. Pegando:
Vamos fazer
Com
Só para organizar as nossas contas.
Vamos ter
Temos
Então
Passo 3
Vamos finalizar achando a derivada de
Vamos ter
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos achar o valor de da equação da tangente e de da reta normal.
Assim:
E
Vamos aos outros coeficientes das duas retas
Passo 5
Reta tangente:
Reta normal:
Ambas passam no ponto , então basta fazermos:
Começando na tangente:
Agora na normal:
AS retas ficam:
Reta tangente:
Reta normal:
Resposta
Reta tangente:
Reta normal: