Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 14

14.

(a) Encontre a excentricidade, (b) identifique a cônica (c) dê a equação da diretriz, e (d) esboce a cônica.

Passo 1

Tudo bem, pessoal?

Essa questão nos dá a equação de uma cônica e nos pede alguns parâmetros que a caracterizam. Para responder as perguntas, vamos usar a equação geral das cônicas e fazer comparações.

A equação geral de uma cônica é:

Onde é a excentricidade e é a sua diretriz.

Agora vamos usar essa equação para responder as perguntas.

Passo 2

(a) Podemos encontrar a excentricidade comparando a equação do enunciado com uma das equações gerais das cônicas:

O que multiplica a função seno é a excentricidade, mas a equação dada não está na mesma forma da equação geral, vamos ajeitá-la para que fique o mais parecido possível. Colocamos o 3 em evidência no denominador:

E colocamos ele para cima, porque isso vai ajudar a gente a encontrar a diretriz na letra (c):

Pronto, agora basta olharmos para o quê multiplica a função seno, isso será a excentricidade, assim:

Passo 3

(b) Como a excentricidade é 1, essa cônica é uma parábola.

Essa será a equação da diretriz.

Passo 4

(c) Para acharmos a equação da diretriz, precisamos primeiro encontrar , para isso, comparamos o numerador da equação geral com o da equação dada, teremos:

E já que sabemos o valor da excentricidade:

Agora precisamos saber se a diretriz é horizontal ou vertical, como no denominador temos o termo , significa que y é constante, ou seja, a reta é vertical, e como o sinal é negativo, o valor de y também será, então: