Nas partes (a)–(d), seja f(x) = 1 + (1/x) .

(a) Encontre a média aritmética dos valores f(6/5), f(7/5), f(8/5), f(9/5) e f(2).

(b) Encontre a média aritmética dos valores f(1,1), f(1,2), f(1,3), ..., f(2) .

(c) Encontre o valor médio de f em [1, 2] .

(d) Explique por que a resposta em (c) é maior do que as respostas em (a) e (b).

Passo 1

(a) Só substituir os valores na expressão da função e dividir por 5 :

M 1 = 1 5 1 + 5 6 + 1 + 5 7 + 1 + 5 8 + 1 + 5 9 + 1 + 1 2 ≈ 1,6453

Passo 2

(b) Sabendo que f x = 1 + 1 x . Como temos 10 termos, somamos todos os valores de f e dividimos por 10 :

M 2 = 1 10 f 1,1 + f 1,2 + f 1,3 + f 1,4 + … + f 1,9 + f 2 ≈ 1,6687

Passo 3

(c) Só usar a fórmulinha:

f m = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x = 1 2 - 1 ∫ 1 2 1 + 1 x d x = x + ln ⁡ x   | 2 1

f m = 1 + ln ⁡ 2 ≈ 1,6931

Passo 4

(d) Sabemos que o valor médio de uma função pode ser encontrado pela fórmula:

f m = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

Podemos interpretar que a letra (a) e a letra (b), usaram essa fórmula, mas em vez de calcular exatamente a integral:

∫ a b f ( x ) d x

usaram a aproximação numérica da área do gráfico pela extremidade direita:

∫ a b f ( x ) d x = b - a n f x 1 + f x 2 + … + f x n

Para n = 5 e n = 10 . Quando usamos essa aproximação em intervalos onde a função é descrescente (como no nosso caso), o resultado encontrado subestima o valor da integral.

Por isso a integral exata resultou num valor maior.

Resposta

(a)   1,6453

(b) 1,6687

(c) 1,6931

(d) Interpretando que nessas letras foi usada a aproximação de integrais pela extremidade direita, entendemos que o valor achado em (c) foi maior porque a aproximação usada subestima o valor da integral.

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