Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.

∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y

C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2

Passo 1

Faaaala galera, tudo na paz?

Precisamos usar o teorema de Green para calcular a seguinte integral de linha com orientação positiva:

∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y

Onde, C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x 2 e x = y 2

O primeiro passo é esboçar essas parábolas. Fazendo isso temos:

Vamos lembrar do teorema de Green. Para uma curva C fechada e orientada positivamente, ou seja, no sentido anti-horário, podemos aplicar:

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Nosso desafio agora é determinar os intervalos de integração para x e y . Olhando para o gráfico podemos adotar a seguinte variação:

0 ≤ x ≤ 1

x 2 ≤ y ≤ x

Em x vai varia de 0 até o encontro das curvas que é 1 . Já em y vai variar da curva que esta mais abaixo até a curva mais acima.

Agora seu objetivo vai ser montar a integral e calcular seu valor!

Bora lá!!!

Passo 2

Como C é uma curva fechada e orientada positivamente (sentido anti-horário). Isso nos permite aplicar o teorema de Green:

∫ C P d x + Q d y = ∬ D ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d x d y

Nossa integral de linha é:

∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y

Perceba que:

P = y + e x

Q = 2 x + cos ⁡ y 2

Aplicando na relação de Green, temos:

∬ D ∂ ∂ x 2 x + cos ⁡ y 2 - ∂ ∂ y y + e x d x d y

Aplicando as derivadas parciais, vamos ficar com:

∬ D 2 - 1 d A

∬ D d A

Passo 3

Agora devemos resolver a integral:

∬ D d A

A região D limitada por C é uma região de limites:

0 ≤ x ≤ 1

x 2 ≤ y ≤ x

Conforme pode ser visto na imagem:

Em x vai varia de 0 até o encontro das curvas que é 1 . Já em y vai variar da curva que esta mais abaixo até a curva mais acima.

Então, substituindo na integral, temos:

∫ 0 1 ∫ x 2 x d y d x

Nesse tipo de situação a ordem de integração é muito importante. Porque um dos integrandos, tem uma função variando, e sempre devemos começar integrando por esses.

Passo 4

Integrando primeiro em d y , vamos ter:

∫ 0 1 y x 2 x d x

Aplicando os limites de integração temos:

∫ 0 1 ( x - x 2 ) d x

Agora integrando em relação a x , ficamos com:

2 x 3 3 - x 3 3 0 1

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

2 1 3 3 - 1 3 3 - 2 0 3 3 - 0 3 3

Resolvendo vamos ter:

2 3 - 1 3 - ( 0 ) = 1 3

Logo nossa resposta usando o teorema de Green é:

1 3

Resposta

1 3

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