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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 51

Encontre a forma geral de um função cuja derivada segunda é x . [Sugestão. Resolva a equação f ' ' x = x para f ( x ) . Integrando ambos os lados duas vezes.]

Passo 1

Bom galera, esse problema é muito mais fácil do que parece, basta a gente integrar duas vezes a nossa função:

f x = ∫ ∫ f ' ' x d x d x

→ f x = ∫ ∫ x   d x d x

→ f x = ∫ ∫ x   d x d x

→ f x = ∫ ∫ x 1 / 2   d x d x

Passo 2

Beleza, agora vamos integrar a primeira vez:  

f x = ∫ ∫ x 1 / 2   d x d x

→ f x = ∫ 2 x 3 2 3 + C 1 d x

Passo 3

Show de bola pessoal, pra terminar a gente só integra mais uma vez:

f x = ∫ 2 x 3 2 3 + C 1 d x

A gente pode facilitar isso dividindo em duas integrais:

f x = ∫ 2 x 3 2 3   d x + ∫ C 1   d x

Resolvendo cada uma ficamos com:

f x = 2 ⋅ 2 ⋅ x 5 2 3 ⋅ 5 + C 1 x + C 2

E a gente pode escrever assim:

f x = 4 15 x 5 + C 1 x + C 2

Resposta

f x = 4 15 x 5 + C 1 x + C 2

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Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ x + 1 c o t g x 2 + 2 xd x
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Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ sec ⁡ s e n θ t g s e n θ cos ⁡ θ d θ
Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nesta seção. ∫ cos ⁡ x s e n x s e n 2 x + 1d x