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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.2 - Ex. 10

Encontre a fórmula para f @ g @ h

f (x) = (x + 2)/(3 - x)

g (x) = (x^2)/(x^2 + 1)

h (x) = sqrt(2 - x)

Passo 1

Primeiro, devemos entender o que a questão pede. Ela pede para que encontremos f @ g @ h , isto é, uma função composta dada por f (g (h (x))) . O procedimento para resolvermos essa questão é simples, e para isto, precisamos dividir em duas etapas: calcular g ( h (x) ) e depois substituir este valor em f (x) .

Passo 2

Primeiramente, devemos determinar a função composta g @ h , isto é, g ( h (x) ) . Para isto, para todo x na equação da função g ( x ) , vamos substituir por h (x) = sqrt(2 - x) , isto é, calcularemos a seguinte função:

g (h (x)) = g (sqrt(2 - x))

Logo,

g (h (x)) = ((sqrt(2 - x))^2)/((sqrt(2 - x))^2 + 1)

Elevando as raízes ao quadrado, obtemos:

g (h (x)) = (2 - x)/(2 - x + 1)

g (h (x)) = (2 - x)/(3 - x)

Passo 3

Para finalizarmos a questão, precisamos substituir o g (h (x)) encontrado no passo anterior na função f ( x ) , isto é:

f (g (h (x))) = f ((2 - x)/(3 - x))

Logo, temos:

f (g (h (x))) = ((2 - x)/(3 - x) + 2)/(3 - (2 - x)/(3 - x))

Devemos tomar cuidado agora ao tirar o mínimo na parcela tanto do numerado quanto do denominador para não errarmos a questão por conta! Além disto, tomem cuidado com o sinal negativo do denominador. Ele multiplica todo o termo 2 - x . Sendo assim, vamos fazer agora este procedimento.

f (g (h (x))) = ((2 - x + 2 ( 3 - x ))/(3 - x))/((3 (3 - x) - [ 2 - x ])/(3 - x))

f (g (h (x))) = ((8 - 3 x)/(3 - x))/((7 - 2 x)/(3 - x))

Reorganizando a nossa função, temos:

f (g (h (x))) = (8 - 3 x)/(7 - 2 x)

Resposta

f @ g @ h (x) = f (g (h (x))) = (8 - 3 x)/(7 - 2 x)

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