Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 48
Use a derivação logarítmica para achar a derivada da função
Passo 1
Fala aí. Tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente usar a derivação logarítmica pra achar a derivada da função:
E para isso, tomaremos o , daí ficamos com
Ficou bem feio, né?
Mas a ideia em aplicar o a essa função é justamente usar a propriedade logarítmicas que conhecemos para tornar essa derivação um pouco mais simples.
Então, o que faremos é arrumar um pouco melhor essa função aplicando as propriedade e, aí sim calcular sua derivada.
Vem comigo que te mostro como fazer tudo isso no passo a passo abaixo.
Passo 2
Nossa função que temos é:
E uma propriedade bem útil aquie é essa:
Aplicando isso a cada termos, ficamos com:
Agora vamos derivar essa expressão do dois lados. Ok?!
Passo 3
A Derivada se torna:
Para o lado esquedo temos uma função composta, já que é uma função de . Assim, para fazer
Precisando da regra da cadeia, que será a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro. Assim:
Show! E do lado direito temos que fazer:
Perceba que agora temos uma multiplicação entre funções, então usaremos a regra do produto. Lembrando que:
Fazendo
E
Mas para fazer essa derivação usaremos outra regra da cadeia, fazendo a derivada da de fora, vez a derivada da de dentro. Assim, teremos:
Aplicando a fórmula da regra do produto, teremos:
Que pode ser escrita como:
Vamos juntar tudo que temos até aqui.
Passo 4
Estamos fazendo:
E substituindo os dois lados da equação ficamos com:
Isolando ficamos com
Passo 5
Agora, basta substituirmos , lembrado que
Teremos:
E essa é nossa derivada!!!