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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.6 - Ex. 70

Se f ( x ) é injetora e f ( x ) nunca é zero, podemos dizer algo a respeito de h ( x ) = 1 f ( x ) ? Ela também é injetora? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, galera, vamos lembrar algo sobre função injetora:

Se você quer provar que uma dada função g ( x ) é injetora e você tem que g ( x 1 ) = g ( x 2 ) , basta provar que x 1 = x 2 , beleza? Vamos usar isso na demonstração.

Passo 2

Como f ( x ) não pode ser zero, não teremos problemas com h ( x ) = 1 f ( x ) , porque o que daria ruim é se f ( x ) pudesse ser zero.

Vamos supor que, pra algum x 1 e pra algum x 2 , você tenha que h ( x 1 ) = h ( x 2 ) .

Pela definição da h , temos:

h ( x 1 ) = h ( x 2 ) ⇒ 1 f ( x 1 ) = 1 f ( x 2 ) , beleza? Passando os f s como multiplicação pro outro lado:

f ( x 1 ) = f ( x 2 ) . Como f é injetora, obrigatoriamente x 1 = x 2 .

Logo, se h ( x 1 ) = h ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 , g é injetora.

Resposta

g também é injetora.

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