Encontre a fórmula para f^(-1)(x) e de o domínio da função f^(-1)

f(x) = raiz(x + 3)

Passo 1

Toda vez que formos inverter uma função galera, vamos seguir três passos, ok? São eles:

y = f x

f y = x

f - 1 x = y

Por extenso, temos:

  • Passo 1: Escrever a função como y igual a uma função de x
  • Passo 2: Isolar x de forma que possamos escrever ele como uma função de y
  • Passo 3 : Trocar x , y de lugar e chamar a nova função de x encontrada da inversa f - 1 x

Bora lá?

Passo 2

Show então, nossa função vai ser:

y = x + 3

Uma coisa importante sobre essa função é que, como ela é uma raiz par, o interior dela não pode ser menor que zero! Logo:

x + 3 ≥ 0

x ≥ - 3

Além disso, seu resultado nunca vai ser negativo! Então nossa função também terá:

y ≥ 0

Beleza, agora, quando a gente for inverter essa função, vamos primeiro elevar os dois lados ao quadrado:

y 2 = x + 3 2

y 2 = x + 3

Pra depois subtrair 3 dos dois lados:

y 2 - 3 = x + 3 - 3

x = y 2 - 3

Como y ≥ 0 , juntando esse fato a equação acima, ao trocarmos x , y de lugar...

x = y 2 - 3 ,     y ≥ 0

y = x 2 - 3 ,     x ≥ 0

... a nossa inversa aparece, junto do seu domínio!

f - 1 x = x 2 - 3

D f - 1 = x ∈ [ 0 , + ∞ [

Resposta

f - 1 x = x 2 - 3

D f - 1 = x ∈ [ 0 , + ∞ [

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