Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.

3.

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos raízes distintas, teremos a seguinte homogênea associada:

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes da homogênea associada, por outros parâmetros. Aqui escolhi .

Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de

Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:

Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:

Aqui g(t) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:

Calma que eu já te explico, vem comigo!

Vamos calcular primeiramente o determinante de W(t)

Lembram da nossa solução particular? De lá temos:

Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.

Agora precisamos descobrir o determinante de :

Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).

Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar

Vamos resolver as integrais de do passo anterior, encontrando assim: .

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Portanto temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos: