Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 8
Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.
8.
Passo 1
Peguemos a equação ordinária dada no problema:
Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:
E da expressão entre parênteses:
Assim, teremos as seguintes raízes:
Passo 2
Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos três raízes distintas, teremos a seguinte homogênea associada:
Note que montamos a expressão acima, da seguinte forma:
Passo 3
Agora precisamos encontrar a nossa solução particular.
Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes da homogênea associada, por outros parâmetros. Aqui escolhi .
Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de
Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:
Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:
Aqui g(t) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:
Calma que eu já te explico, vem comigo!
Passo 4
Vamos calcular primeiramente o determinante de W(t)
Lembram da nossa solução particular? De lá temos:
Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.
Agora precisamos descobrir o determinante de :
Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).
Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar
Passo 5
Vamos resolver a integral de , e deixar em função das integrais (que foi solicitado pelo enunciado da questão), encontrando assim: .
Vamos resolver a integral indefinida:
Pelo método da substituição teremos que:
Assim:
Logo:
Passo 6
Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando , pelos respectivos valores e integrais encontrados no passo anterior. Assim teremos:
Portanto temos os dados necessários para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos: