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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 9

Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.

9.

y ' ' ' + y ' = sec ⁡ t ;     y 0 = 2 ,   y ' 0 = 1 ,   y ' ' 0 = - 2

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' + y ' = sec ⁡ t

A equação homogênea correspondente é a seguinte:

y ' ' ' + y ' = 0

Pensando nela, a nossa equação característica, terá o seguinte formato:

r 3 + r = 0

r ( r 2 + 1 ) = 0

Dessa forma, temos então que as raízes da homogênea associada são:

r = 0

r = ± i  

Passo 2

Aqui, Temos então que a que as raízes da equação característica são r 1 = 0 , r 2 = i e r 3 = - i . Assim, vemos que 1 , cos ⁡ t e sen ⁡ t são as soluções da equação homogênea. Portanto, a solução para a homogênea associada é:

y C t = c 1 + c 2 cos ⁡ t + c 3 sen ⁡ t

Passo 3

Precisamos agora encontrar uma solução particular para a para a equação diferencial fornecida, para isso, podemos usar o método de variação dos parâmetros. Assim, a solução específica é dada por:

Y P t = ∑ m = 1 n y m ∫ t 0 t g t W m t W t d t

Em que g s é a função da equação ordinária depois da igualdade na equação diferencial dado no começo, W t = W y 1 , y 2 , … , y n t vem do determinante da matriz dos coeficientes

y 1 + y 2 + … + y n

y 1 ' + y 2 ' + … + y n '

y 1 ' ' + y 2 ' ' + … + y n ' '

⋮

y 1 n - 1 + … + y n n - 1

e W m t é obtido de   W   substituindo a m-ésima coluna pela coluna   ( 0,0 , … , 0,1 )

Passo 4

Vamos agora calcular W t . Assim temos:

W 1 , cos ⁡ t , sen ⁡ t = 1 cos ⁡ t sen ⁡ t 1 ' cos ⁡ t ' sen ⁡ t ' 1 ' ' cos ⁡ t ' ' sen ⁡ t ' '

= 1 cos ⁡ t sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t 0 - cos ⁡ t - sen ⁡ t = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Passo 5

Vamos agora calcular W 1 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 1 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 1 t = 0 cos ⁡ t sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t 1 - cos ⁡ t - sen ⁡ t = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Passo 6

Vamos agora calcular W 2 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 2 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 2 t = 1 0 sen ⁡ t 0 0 cos ⁡ t 0 1 - sen ⁡ t = - cos ⁡ t

Passo 7

Vamos agora calcular W 3 t , para isso pegamos a matriz acima e trocamos a coluna 3 por ( 0,0 , 1 ) . Assim temos:

W 3 t = 0 cos ⁡ t 0 0 - sen ⁡ t 0 1 - cos ⁡ t 1 = - sen ⁡ t

Passo 8

Agora, vamos calcular a solução particular. Assim temos:

Y P t = 1 ∫ t 0 t sec ⁡ t 1 1 d t + cos ⁡ t ∫ t 0 t sec ⁡ t - cos ⁡ t 1 d t + sen ⁡ t ∫ t 0 t sec ⁡ t - sen ⁡ t 1 d t

Y P t = ∫ t 0 t sec ⁡ t d t + cos ⁡ t ∫ t 0 t - 1 d t + sen ⁡ t ∫ t 0 t - tan ⁡ t d t

Y P t = ∫ t 0 t sec ⁡ t d t - cos ⁡ t ∫ t 0 t d t - sen ⁡ t ∫ t 0 t tan ⁡ t d t

Passo 9

Vamos calcular os termos separadamente. Assim temos:

∫ t 0 t sec ⁡ t d t = ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t

- cos ⁡ t ∫ t 0 t d t = - t cos ⁡ t  

sen ⁡ t ∫ t 0 t tan ⁡ t d t = sen ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t

Substituindo temos:

Y P t = ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - t cos ⁡ t + sen ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t

Passo 10

Assim, podemos escrever a solução geral da seguinte forma:

y t = y C t + Y P t

Substituindo a solução da homogênea associada e a solução particular, temos:

y t = c 1 + c 2 cos ⁡ t + c 3 sen ⁡ t + ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - t cos ⁡ t + sen ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t

Onde c 1 , c 2 e c 3  são constantes arbitrárias.

Passo 11

Podemos encontrar as constantes c 1 , c 2 e c 3 utilizando as condições iniciais.

As condições iniciais fornecidas são:

y 0 = 2 ,   y ' 0 = 1 ,   y ' ' 0 = - 2

Usando a primeira y 0 = 2 condição temos:

2 = c 1 + c 2 cos ⁡ 0 + c 3 sen ⁡ 0 + ln ⁡ sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 - 0 cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0 ln ⁡ cos ⁡ 0

2 = c 1 + c 2

Usando a segunda y ' 0 = 1 condição temos:

y ' t = - c 2 sen ⁡ t + c 3 cos ⁡ t + sec ⁡ t tan ⁡ t + sec 2 ⁡ t sec ⁡ t + tan ⁡ t - cos ⁡ t - t sen ⁡ t + cos ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t - sen 2 ⁡ t cos ⁡ t

1 = - c 2 sen ⁡ 0 + c 3 cos ⁡ 0 + sec ⁡ 0 tan ⁡ 0 + sec 2 ⁡ 0 sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 - cos ⁡ 0 - 0 sen ⁡ 0 + cos ⁡ 0 ln ⁡ cos ⁡ 0 - sen 2 ⁡ 0 cos ⁡ 0

1 = c 3 + 1 - 1

c 3 = 1

Usando a segunda y ' ' 0 = - 2 condição temos:

y ' ' t = - c 2 cos ⁡ t - c 3 sen ⁡ t + ( sec ⁡ t tan 2 ⁡ t + sec 3 ⁡ t + 2 tan ⁡ t sec 2 ⁡ t ) sec ⁡ t + tan ⁡ t   sec ⁡ t + tan ⁡ t 2 - sec ⁡ t tan ⁡ t + sec 2 ⁡ t sec ⁡ t tan ⁡ t + sec 2 ⁡ t sec ⁡ t + tan ⁡ t 2 - t cos ⁡ t - sen ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t - sen ⁡ t - - 2 sen ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 3 ⁡ t cos 2 ⁡ t

- 2 = - c 2 cos ⁡ 0 - c 3 sen ⁡ 0 + sec ⁡ 0 tan 2 ⁡ 0 + sec 3 ⁡ 0 + 2 tan ⁡ 0 sec 2 ⁡ 0 sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0   sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 2 - sec ⁡ 0 tan ⁡ 0 + sec 2 ⁡ 0 sec ⁡ 0 tan ⁡ 0 + sec 2 ⁡ 0 sec ⁡ 0 + tan ⁡ 0 2 - 0 cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 ln ⁡ cos ⁡ 0 - sen ⁡ 0 - - 2 sen ⁡ 0 cos 2 ⁡ 0 + sen 3 ⁡ 0 cos 2 ⁡ 0

- 2 = - c 2 + 1 - 1

c 2 = 2

Assim, temos que:

2 = c 1 + c 2

2 = c 1 + 2

c 1 = 0

Passo 12

Portanto, a solução geral é obtida substituindo os valores encontras. Assim temos:

y t = 0 + 2 cos ⁡ t + 1 sen ⁡ t + ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - t cos ⁡ t + sen ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t

y t = 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t + ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - t cos ⁡ t + sen ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t

Resposta

y t = 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t + ln ⁡ sec ⁡ t + tan ⁡ t - t cos ⁡ t + sen ⁡ t ln ⁡ cos ⁡ t

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