Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 6
Em cada um dos problemas de 1 a 6, use o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral da equação diferencial dada.
6.
Passo 1
Peguemos a equação ordinária dada no problema:
Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:
Vamos chamar: e
Assim teremos:
Devemos relacionar a raiz da equação em x com a equação:
Para , teremos:
Note que temos (O mesmo número já calculado em cima para ), assim é só lembrar de repetir os valores de r.
Dessa forma, teremos as seguintes raízes:
Passo 2
Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos quatro raízes complexas, teremos a seguinte homogênea associada:
Passo 3
Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.
Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes da homogênea associada, por outros parâmetros, aqui escolhi .
Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de
Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:
Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:
Aqui g(t) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:
Calma que eu já te explico, vem comigo!
Passo 4
Vamos calcular primeiramente o determinante de W(t)
Lembram da nossa solução particular? De lá temos:
Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! . Isso porque temos 4 termos, n=4 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 3, assim precisaremos ir até a derivada de terceira ordem.
Agora precisamos descobrir o determinante de :
Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,0,1).
Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar
Passo 5
Vamos resolver as integrais de do passo anterior, encontrando assim: .
Passo 6
Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando , pelos respectivos valores encontrados no passo anterior. Assim teremos:
Passo 7
Portanto temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:
Note que somente o último termo da solução particular não é uma solução da equação homogênea.