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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 7

Em cada um dos Problemas 7 e 8, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Deixe sua resposta em função de uma ou mais integrais.

7.

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = sec ⁡ t       - π 2 < t < π 2

Passo 1

Peguemos a equação ordinária dada no problema:

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = sec ⁡ t       - π 2 < t < π 2

Pensando nela, vamos encontrar nossa equação característica, que terá o seguinte formato:

p r = r 3 - r 2 + r - 1 = 0

As possíveis raízes desse polinômio serão:

r = ± 1 ,   ( D i c a :   O l h e   p o r   q u a i s   n ú m e r o s   o   t e r m o   q u e   e s t á   n o   f i n a l   é   d i v i s í v e l )

Testando:

p - 1 = - 4   n ã o   é   r a i z

p 1 = 0   ( é   u m a   r a i z )

Fazendo a divisão de polinômio:

r 3 - r 2 + r - 1 r - 1 = r 2 + 1

Portanto:

r 2 + 1 = 0

r 2 = - 1

r = ± i

Assim, teremos as seguintes raízes:

r 1 = 1

r 2 = i

r 3 = - i

Passo 2

Agora observem que como a equação ordinária dada no exercício, não está igualada a zero, temos um exemplo de EDO não homogênea. Então como temos uma raiz distinta e duas raízes complexas, teremos a seguinte homogênea associada:

y t = C 1 e t + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t

Passo 3

Agora precisamos encontrar a nossa solução particular utilizando o método de variação dos parâmetros.

Dicazinha:É possível montar a solução particular, apenas trocando as constantes C n da homogênea associada, por outros parâmetros. Aqui escolhi u n .

Y p = u 1 e t + u 2 cos ⁡ t + u 3 sen ⁡ t   ( S o l u ç ã o   p a r t i c u l a r )

Repare que agora, precisamos de descobrir os valores de u 1 ,   u 2   e   u 3   p a r a   i n s e r i r   n a   s o l u ç ã o   p a r t i c u l a r

Para isso, necessitamos do sistema de matrizes genérico:

y 1 u 1 ' + y 2 u 2 ' + … + y n u n ' = 0

y 1 ' u 1 ' + y 2 ' u 2 ' + … + y n ' u n ' = 0

y 1 ' ' u 1 ' + y 2 ' ' u 2 ' + … + y n ' ' u n ' = 0

⋮

y 1 n - 1 u 1 ' + … + y n n - 1 u n ' = g

Porém pela regra de Cramer, esse sistema pode ser convertido para seguinte expressão:

u m ' t = g t W m t W t         e m   q u e   m = 1,2 , … , n

Aqui g(t) é a função da equação ordinária depois da igualdade (Aquela trazida lá no começo do problema!), correspondendo então, ao seguinte valor:

g t = sec ⁡ t

W t = W y 1 , y 2 , … , y n t e   W m é   o   d e t e r m i n a n t e   o b t i d o   d e   W   s u b s t i t u i n d o   a   m - é s i m a   c o l u n a   p e l a   c o l u n a   ( 0,0 , … , 0,1 )

Calma que eu já te explico, vem comigo!

Passo 4

Vamos calcular primeiramente o determinante de W(t)

Lembram da nossa solução particular? De lá temos:

y 1 = e t ,   y 2 = cos ⁡ t   e   y 3 = sen ⁡ t ,   q u e   s ã o   a s   f u n ç õ e s   q u e   a c o m p a n h a m   u 1 ,   u 2 e   u 3 s a c o u ?

Bora lá então e vamos inserir tudo isso na primeira linha, para derivarmos na sequência! ( D e r i v a r   a t é   y 1 ' ' ,   y 2 ' ' e   y 3 ' '   ) . Isso porque temos 3 termos, n=3 e sempre diminuímos uma unidade desse valor, o que resulta em 2, assim precisaremos ir até a derivada de segunda ordem.

W e t , cos ⁡ t , sen ⁡ t = e t cos ⁡ t sen ⁡ t e t - sen ⁡ t cos ⁡ t e t - cos ⁡ t - sen ⁡ t = 2 e t  

Agora precisamos descobrir o determinante de W 1 ,   W 2 e   W 3 :

W 1 t = 0 cos ⁡ t sen ⁡ t 0 - sen ⁡ t cos ⁡ t 1 - cos ⁡ t - sen ⁡ t = 1

W 2 t = e t 0 sen ⁡ t e t 0 cos ⁡ t e t 1 - sen ⁡ t = - e t cos ⁡ t + e t sen ⁡ t = e t ( sen ⁡ t - cos ⁡ t )  

W 3 t = e t cos ⁡ t 0 e t - sen ⁡ t 0 e t - cos ⁡ t 1 =   - e t cos ⁡ t - e t sen ⁡ t = - e t ( cos ⁡ t + sen ⁡ t )

Repare que a única diferença para o cálculo de cada um desses determinantes, foi a posição da coluna (0,0,1).

Já que possuímos tudo que precisamos, vamos encontrar u 1 ' ,   u 2 ' e   u 3 '

u 1 ' t = g t W 1 t W t = sec ⁡ t 2 e t = 1 2 e - t sec ⁡ t

u 2 ' t = g t W 2 t W t = sec ⁡ t e t ( sen ⁡ t - cos ⁡ t ) 2 e t = 1 2 sec ⁡ t ( sen ⁡ t - cos ⁡ t )

u 3 ' t = g t W 3 t W t = - sec ⁡ t e t ( cos ⁡ t + sen ⁡ t ) 2 e t = - 1 2 sec ⁡ t ( cos ⁡ t + sen ⁡ t )

Passo 5

Vamos resolver as integrais de u 1 ' ,   u 2 '   e   u 3 ' do passo anterior, encontrando assim: u 1 ,   u 2 e   u 3 .

u 1 = 1 2 ∫ t 0 t e - s sec ⁡ s d s = 1 2 ∫ t 0 t e - s cos ⁡ s d s

u 2 = 1 2 ∫ t 0 t sec ⁡ s ( sen ⁡ s - cos ⁡ s ) d s =   - 1 2 t - l n cos ⁡ t

u 3 = - 1 2 ∫ t 0 t sec ⁡ s cos ⁡ s + sen ⁡ s d s = - 1 2 t - l n cos ⁡ t

Passo 6

Chegamos ao último passo! Agora podemos escrever a nossa solução particular, trocando u 1 ,   u 2   e   u 3 , pelos respectivos valores e integrais encontrados no passo anterior. Assim teremos:

Y p = 1 2 e t ∫ t 0 t e - s cos ⁡ s d s   + cos ⁡ t - 1 2 t - l n cos ⁡ t + sen ⁡ t - 1 2 t - l n cos ⁡ t

Portanto temos os dados necessários, para escrever a solução geral da equação diferencial que nos foi pedida. Esta será dada pela soma da homogênea associada com a solução particular encontrada. Dessa forma, teremos:

y t = C 1 e t + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t + 1 2 e t ∫ t 0 t e - s cos ⁡ s d s   + cos ⁡ t - 1 2 t - l n cos ⁡ t + sen ⁡ t - 1 2 t - l n cos ⁡ t

Resposta

y t = C 1 e t + C 2 cos ⁡ t + C 3 sen ⁡ t + 1 2 e t ∫ t 0 t e - s cos ⁡ s d s   + cos ⁡ t - 1 2 t - l n cos ⁡ t + sen ⁡ t - 1 2 t - l n cos ⁡ t

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