Enunciado

Encontre uma função g x da forma

g x = A x 2 + B x + C

Cujo gráfico contenha os pontos m - Δ x ,   f m - Δ x ,   m ,   f m e m + x ,   f m + Δ x , onde f x é a função dada, e para os valores dados de m e Δ x . Então, verifique a Fórmula 11 :

∫ m - Δ x m + Δ x g x d x = Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2

Onde Y 0 = f m - Δ x , Y 1 = f m e Y 2 = f m + Δ x .

f x = s e n 2 π x ; m = 1 6 ,   Δ x = 1 6

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, o que deve ser feito para encontrar a função g é escrever as funções com a mesma forma de g , cada uma em relação aos pontos citados. Isso vai nos dar três funções diferentes com três incógnitas A ,   B ,   C , ou seja, vai formar um sistema de equações que é possível de se resolver.

Depois, para verificar a Fórmula 11 , vamos determinar o valor de Y n a partir dos valores atribuídos a f x para cada x e, então, substituir esses valores na equação de interesse.

Passo 2

Então, vamos encontrar as funções g inicialmente. Para o primeiro ponto:

m - Δ x ,   f m - Δ x

Temos que:

x 0 = m - Δ x = 1 6 - 1 6

∴ x 0 = 0 → f x 0 = 0

Ou seja:

x 0 ,   f x 0 = m - Δ x ,   f m - Δ x = 0 ,   0

Assim, a primeira função g pode ser escrita como:

f x 0 = g x 0 = 0 A + 0 B + C = 0

Ou simplesmente:

C = 0

Da mesma forma, para o segundo ponto:

x 1 ,   f x 1 = m ,   f m = 1 6 , 1 4

Tal que:

f x 1 = g x 1 = 1 36 A + 1 6 B + C = 1 4

Analogamente, para o terceiro ponto:

x 2 ,   f x 2 = m + Δ x ,   f m + Δ x = 1 3 , 3 4

Cuja função g é:

f x 2 = g x 2 = 1 9 A + 1 3 B + C = 3 4

Passo 3

Com essas três funções encontradas, podemos montar um sistema de equações dado por:

C = 0 1 36 A + 1 6 B + C = 1 4 1 9 A + 1 3 B + C = 3 4

Que nos dá a solução:

A = 9 2 B = 3 4 C = 0 → g x = 9 2 x 2 + 3 4 x

Passo 4

Agora, verificando a fórmula, vamos substituir as variáveis que temos conhecimento:

∫ m - Δ x m + Δ x g x d x = Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 →

→ ∫ 0 1 / 3 9 2 x 2 + 3 4 x d x = 1 18 0 + 4 1 4 + 3 4

Resolvendo a integral primeiro, teremos:

∫ 0 1 / 3 9 2 x 2 + 3 4 x d x = 9 2 x 3 3 + 3 4 x 2 2 | 1 / 3 0

E, substituindo o intervalo de integração:

∫ 0 1 / 3 9 2 x 2 + 3 4 x d x = 3 2 1 3 3 + 3 8 1 3 2

Portanto:

∫ 0 1 / 3 9 2 x 2 + 3 4 x d x = 7 72

Passo 5

E, por fim, mas não menos importante, vamos calcular o lado direito da equação:

Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 = 1 18 0 + 4 1 4 + 3 4

Logo:

Δ x 3 Y 0 + 4 Y 1 + Y 2 = 7 72

Portanto, a igualdade da Fórmula 11 é correta.

Resposta

g x = 9 2 x 2 + 3 4 x

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