Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 23
Encontre uma função da forma
Cujo gráfico contenha os pontos e , onde é a função dada, e para os valores dados de e . Então, verifique a Fórmula :
Onde , e .
Passo 1
E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em questão, o que deve ser feito para encontrar a função é escrever as funções com a mesma forma de , cada uma em relação aos pontos citados. Isso vai nos dar três funções diferentes com três incógnitas , ou seja, vai formar um sistema de equações que é possível de se resolver.
Depois, para verificar a Fórmula , vamos determinar o valor de a partir dos valores atribuídos a para cada e, então, substituir esses valores na equação de interesse.
Passo 2
Então, vamos encontrar as funções inicialmente. Para o primeiro ponto:
Temos que:
Ou seja:
Assim, a primeira função pode ser escrita como:
Da mesma forma, para o segundo ponto:
Tal que:
Analogamente, para o terceiro ponto:
Cuja função é:
Passo 3
Com essas três funções encontradas, podemos montar um sistema de equações dado por:
Que nos dá a solução:
Passo 4
Agora, verificando a fórmula, vamos substituir as variáveis que temos conhecimento:
Resolvendo a integral primeiro, teremos:
E, substituindo o intervalo de integração:
Portanto:
Passo 5
E, por fim, mas não menos importante, vamos calcular o lado direito da equação:
Logo:
Portanto, a igualdade da Fórmula é correta.