Encontre uma função f tal que f ' x = x 3 e tal que a reta x + y = 0 seja tangente ao gráfico de f .

Passo 1

E aí, pessoal!

Bom, galera... nesse exercício estamos interessados em encontrar uma função f que obedeça às seguintes condições:

f ' x = x 3

E a reta tangente ao gráfico de f seja:

x + y = 0

Para isso, utilizaremos os conceitos integral (algumas vezes você vai ouvir antiderivada, mas é a mesma coisa) e de reta tangente a uma curva!

O enunciado nos dá uma derivada da função f ' ( x ) , então temos que integrar e encontrar a função original a f ( x ) , é isso que o problema quer.

Porém...

Lembra que quando temos uma integral indefinida (aquela que não tem os limites de integração) temos uma constante? É pra isso que usaremos a informação da reta tangente que também foi dada no enunciado.

Com isso acharemos os pontos de x e y , e substituiremos na integral que calculamos, encontrando o valor da constante e resolvendo o problema.

Esse é o nosso plano. Bora lá?! 😬

Passo 2

No enunciado, vimos que a nossa função deve obedecer a seguinte condição

f ' x = x 3

Dessa forma, podemos encontrar f ( x ) utilizando o conceito de integrando essa função, como temos uma função potencial, vamos aplicar a regra da potência, de modo que:

f x = x n + 1 n + 1 + C

Então:

  f ' x = x 3 → f x = x 4 4 + C

Podemos tirar a prova se fizemos certinho derivando f ( x ) :

Para derivar, usamos a regra da potência:

f x = x n → f ' x = n x n - 1

f ' x = 4 x 4 - 1 4 → x 3

Dessa forma, nossa função f ( x ) é a integral de f ' ( x ) e obedece a condição apresentada.

Veja só! 😉

Passo 3

Queremos agora encontrar a constante C da equação de f ( x ) . Que é a outra condição apresentada é a reta tangente ao gráfico de f ( x ) .

Lembra da equação da reta tangente?

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde m é o coeficiente angular da reta.

Aplicando na nossa tangente, temos:

y + x = 0

y = - x

Temos que f ' ( x ) é igual ao coeficiente angular da reta tangente a f x , afinal derivada de uma função em um ponto fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva dessa função naquele ponto. Então a nossa derivada que calculamos tem que ser igual ao m da reta tangente que temos, dessa forma:

f ' x = m

m = - 1

f ' x = - 1

Agora podemos achar o ponto x , y onde a reta tangente toca f x , juntando tudo que sabemos até agora:

f ' x = x 3 = - 1

x = - 1

Agora vamos usar x   que encontramos para achar y substituímos na reta tangente:

y = - x → y = - - 1 → y = 1

Dessa forma, temos o ponto ( - 1 ,   1 ) . Substituindo em f ( x ) , podemos encontrar o valor da constante

f x = x 4 4 + C

Então se x = - 1 temos que essa função tem que ser igual a y , onde y = 1 .

f - 1 = ( - 1 ) 4 4 + C = 1

1 = 1 4 + C

C = 3 4

Encontramos o C , colocando na nossa função temos:

f x = x 4 4 + 3 4

E olha a nossa função com sua reta tangente no grafico abaixo:

Note que elas se cruzam exatamente no ponto ( - 1 ,   1 ) com calculamos:

Prontinhoo! O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

f x = x 4 4 + 3 4

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